数值分析总复习提纲.pdf

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1、数值分析总复习提纲数值分析课程学习的内容看上去比较庞杂，不同的教程也给出了不同的概括，但总的来说无非是误差分析与算法分析、基本计算与基本算法、数值计算与数值分析三个基本内容。在实际的分析计算中，所采用的方法也无非是递推与迭代、泰勒展开、待定系数法、基函数法等几个基本方法。一、误差分析与算法分析误差分析与算法设计包括这样几个方面：（一）误差计算1、截断误差的计算截断误差根据泰勒余项进行计算。基本的问题是f(n1)(x)xn1(01)，已知ε求n。(n1)!例1．1：计算e的近似值，使其误

2、差不超过10－6。解：令f(x),而f（k)(x)（k)(0)0=1。由麦克劳林公式，可知x2xnexex1xLxn1(01)2!n!(n1)!当1时，e111L1e(01)2!n!(n1)!故R(1)e3。n(n1)!(n1)!当n＝9时，(1)<10－6，符合要求。此时，e≈2.718285。2、绝对误差、相对误差及误差限计算绝对误差、相对误差和误差限的计算直接利用公式即可。基本的计算公式是：①e(x)＝x*－x＝△x＝②e(x)e(x)e

3、(x)dxdlnxrx*xx③e(f(x))f(x)dxf(x)e(x)④e(f(x))d(lnf(x))r⑤e(f(x,x))f(x,x)dxf(x,x)dxf(x,x)e(x)f(x,x)e(x)12x121x122x121x1221212⑥(f(x,x))(f(x,x))1212f(x,x)12⑦x注意：求和差积商或函数的相对误差和相对误差限一般不是根据误差的关系而是直接从定义计算，即求出绝对误差或绝对误差限，求出近似值，直接套用定义式e(x)或，e(

4、x)rxx这样计算简单。例1．2：测得圆环的外径d=10±0.05()，内径d=5±0.1()。12求其面积的近似值和相应的绝对误差限、相对误差限。解：圆环的面积公式为：S(d2d2)412所以，圆环面积的近似值为S(10252)58.905(cm2)4由上述讨论，面积近似值的绝对误差限为(S)(2d(d)2d(d))(d(d)d(d))4112221122(100.0550.1)21.57(cm2)相对误差为(S)(S)1.57100%2

5、.7%S58.905相对误差要化成百分数。3、绝对误差、相对误差、有效数字的关系计算绝对误差、相对误差、有效数字的关系依据如下结论讨论：①如果一个数x*0.aaaLaaaL(a0)123n1nn11其近似值x0.aaaLaa123n1n是对x*的第1位进行四舍五入后得到的，则x有n位有效数字，且其绝对误差不超过110，即n2x*x110。n2②如果一个数x*0.aaaLaaaL10m(a0)123n1nn11的近似值x0.aaaLaa10m123n1n是对

6、x*的第1位进行四舍五入后得到的，则x有n位有效数字，且其绝对误差不超过110，即mn2x*x110。mn2③设x0.aaaLaa10m是x*的具有n位有效数字的近似123n1n值，则其相对误差限为1101n2a1反之，若x的相对误差限1101n2(a1)1则x至少具有n位有效数字。例1.3：求3的近似值，使其绝对误差不超过110。32解：因为132所以，化成x0.aaaLaa10m的形式，有a1,m1。123n1n1而1101，31

7、01422所以，由定理2，4，所以近似值应保留4位有效数字。则31.732。例1．4：要使11的近似值的相对误差不超过104，应取几位有效数字？（5％）解：设取n个有效数字可使相对误差小于104，则110，1n1042a1而3114，显然a3，此时，111，101n101n1042a231即110，1n1046也即610n105所以，5。例1．5：已知近似数x的相对误差限为0.3％,问x至少有几个有效数字？解：设x有n位有效数字，其第一位有效数字按最不利

8、情况取为9，则311110.3%101n101n10n10002(91)2102210n由上可得610n1000，n≈2.2，所以取2。指出：也可以按首位为1，9分别计算，取较小者。4、计算方法的余项计算各种计算方法的余项的计算根据相应的余项定理进行。（二）误差分析精度水平的分析主要依据两个结论：相对误差越小，近似数的精确度越高。一个近似数的有效数字越多，它的相对误差越小，也就越精确。反之亦然。例1.6：