《数值》数值积分讲解ppt课件.ppt

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1、第四章数值积分数值积分是数值计算的重要部分，它是求定积分的一种近似方法,具有实际意义.§4.1数值积分的一般概念数值求积公式讨论如下形式的数值求积公式(4.1.1)称为机械求积公式.其中Hi(i=0,1,2,…n)称为求积系数，xi(i=0,1,2,…n)称为求积节点.称为求积公式的余项.数值积分问题可分解为如下三个问题:(1)精确性程度的衡量标准问题；(2)求积公式具体构造问题；(3)余项估计问题.求积公式的代数精度定义若求积公式(4.1.1)对所有次数不超过m的多项式都精确成立，而对于某个m+1次多项式不能精确成立，则称此求积

2、公式具有m次代数精度（或称该公式是m阶的）.上述定义等价于：若求积公式(4.1.1)对f(x)=1,x,x2,…,xm均精确成立，而对f(x)=xm+1不精确成立,则称此求积公式具有m次代数精度（或称该公式是m阶的）.代数精度的概念是衡量求积公式精确性的标准.插值型求积公式以给定互异点x0,x1,…,xn为插值节点,作f(x)的n次插值多项式φn(x),把φn(x)写成Lagrange插值多项式的形式求积系数对于求积公式如果求积系数(4.1.3)则称(4.1.1)为插值型求积公式.其余项若公式(4.1.1)是插值型求积公式，则它至

3、少具有n次代数精度.反之，若求积公式(4.1.1)至少具有n次代数精度，因lk(x)Mn,k=0,1,2,,n.求积公式(4.1.1)对lk(x)精确成立，即综上有定理求积公式(4.1.1)至少具有n次代数精度的充分必要条件是它是插值型的.§4.2Newton-Cotes公式Newton-Cotes公式将区间[a,b]n等分，其分点为xi=a+ih，i=0,1,2,,n，h=(b-a)/n，以这n+1个等距分点为插值节点,作n次插值多项式求积系数Newton-Cotes系数作变量替换x=a+th，于是记(4.2.1)称为牛顿

4、—柯特斯（Newton-Cotes）系数.则Hi=(b-a)Ci(n)(4.2.1)Newton-Cotes公式(4.2.3)称等距节点的插值型求积公式(4.2.3)为n阶牛顿—柯特斯（Newton-Cotes）公式.当n=1时,Newton-Cotes公式(4.2.3)为梯形求积公式(4.2.4)H0=H1=(b-a)/2,C0=C1=1/2几何意义:用梯形面积近似代替曲边梯形面积.当n=２时,Newton-Cotes公式(4.2.3)为抛物线(Simpson)求积公式(4.2.5)H0=H2=(b-a)/6,H1=2(b-a)

5、/3,C0=C2=1/6,C1=2/3当n=4时,Newton-Cotes公式(4.2.3)为Cotes公式公式(4.2.6)H0=H4=7(b-a)/90,H1=H3=32(b-a)/90,H2=12(b-a)/90,C0=C4=7/90,C1=C3=32/90,C2=12/90.其它情形可通过查Cotes系数表，给出具体公式.Newton-Cotes公式的收敛性定理对于n+1个节点的Newton-Cotes公式的求积系数Hk,当n时,数列无限放大.定理如果当n时,与插值型求积公式(4.1.1)相应的数列无限放大，则有函

6、数f(x)C[a,b]，使得数列不收敛于此定理说明Newton-Cotes公式并不总是收敛于积分的真值.Newton-Cotes公式的数值稳定性设精确值为f(xj)的计算值为，且那么若每个Hi(i=0,1,2,,n)都为正,则这时数值计算是稳定的.若Hi有正有负,则且随n的增大无限放大，这时数值计算是不稳定的.当n=8时，Newton-Cotes公式中求积系数出现负数.实际计算并不用高阶Newton-Cotes公式，一方面余项含高阶导数；另一方面其收敛性、稳定性都差.Newton-Cotes公式的余项对于n阶的Newton-C

7、otes公式当n为奇数时，若f(x)Cn+1[a,b],则当n为偶数时，若f(x)Cn+2[a,b],则Newton-Cotes公式的代数精度对于n阶的Newton-Cotes公式当n为奇数时，至少具有n次代数精度；当n为偶数时，至少具有n+1次代数精度.梯形求积公式的代数精度为1.抛物线求积公式的代数精度为3梯形求积公式的余项定理１若f(x)C2[a,b],则梯形求积公式有余项估计(4.2.7)证由插值余项定理知等式两边积分得由于f(x)C2[a,b]，且(x-a)(x-b)在[a,b]上非正(不变号),故根据积分中值定

8、理知,至少存在一点(a,b),使抛物线求积公式的误差定理２若f(x)C4[a,b],则抛物线求积公式有余项估计(4.2.8)证抛物线求积公式的代数精度为3,为此构造三次多项式P3(x)，满足P3(a)=f(a),则等式两边从a到b积分得由于P