用广义力学表示的质点系平衡条件课件.ppt

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1、§1-6用广义力学表示的质点系平衡条件在由式（1-13）、式（1-14）表达的虚位移原理中，是以质点的坐标变分表示虚位移的，这些虚位移间并不一定是相互独立的，所以解题时还要建立它们之间的关系，这样才能将问题解决。而如果我们直接用广义坐标的变分来表示虚位移，这些广义虚位移间是相互独立的，这时虚位移原理就可以表示为更简明的形式为此，将式（1-11）代入式（1-13），则主动力所作的虚功的和可表示为变换求和顺序令则上式成为考虑到功是力与位移的乘积，因此我们称QK为对应于广义坐标qk的广义力。当qk是线位移时，QK的量纲是力的量纲；当δqk是角位移时，QK是力矩的量纲。广义

2、力随所选的广义坐标的不同而表示不同的物理量。根据式（1-13）表示的平衡条件，可知式（1-16）等于零，即对于受完整约束的质点系，广义虚位移间是相互独立的，因而是任意的，所以式（1-17）成立，必须有该式表明，具有理想约束的质点系，在给定位置平衡的必要和充分条件是，对应于每个广义坐标的广义力都等于零。这是一组N个独立的平衡方程。显然，用式（1-18）求解质点系的平衡问题时，质点系受的约束越多，则广义坐标数越少，平衡方程数相应越少，求解就很方便。关键在于如何表达其广义力，通常有两种方法：(1)解析法直接用广义力的定义式（1-15），或用其解析表达式就是将主动力系的各力

3、Fi的作用点的坐标xi,yi,zi写成广义坐标qk（K=1，2，3……N）的函数，对qk求偏导数后代入上式，即求得广义力QK。这种方法即解析法。（2）几何法可单一求某个广义力，譬如求Q1，给质点系一组特殊的虚位移，其中只令广义坐标中的q1变更，而保持其余（N-1）个广义坐标不变，即令δq1≠0，而δq2=δq3=…δqN=0，这样就可求出所有主动力相应于广义虚位移δq1所作的虚功之和，以∑δW’表示，由式（1-16）知由此可求出广义力用同样方法可求出Q2,Q3……,QN，归纳起来得此种方法称为几何法。例1—6离心调速器如图1-15所示，己知小球B1,B2的重量都是P

4、；套筒C和各杆的重量均不计，套筒尺寸也不计，系统磨擦不计；A1B1=A2B2=l，OA1=OA2=a，在铅直轴上作用一力偶，其力偶矩为M。若取调速器转角φ及杆A1B1或A2B2与铅直线间的夹角α为广义坐标，求对应的广义力Qφ和Qα。解:求对应角α的广义力Qα给角α一个变分δα，解φ保持不变，由图知对α取变分由此得所以再求对应于角φ的广义力Qφ给角φ一个变分δφ，角α保持不变（即设调速器内各杆的相对位置保持不变，仅有调速器绕铅直轴转过了微小角δφ）；力P不作功，因此，于是得例1-7匀质杆OA和AB用铰链A连接，铰链O固定，如图1-16所示。两杆的长度分别为L1和L2，

5、重量为P1和P2。在杆AB的B端受一水平力F作用，求平衡时两面三刀杆与铅直线所成的夹角α和β。解:本系统有两个自由度，选角α和β为广义坐标（1）用解析法解由图知对上面三式取变分将它们代入下式并整理得由式（1-16）可见，对应于广义坐标α和β的广义力为由用广义力表示的质点系的平衡条件式（1-18）知当Qα=0时当Qβ=0时本题还可以用式（1-19）求解，即将它们代入式（b），并令Qα，Qβ等于零，得即由此二式解得的α，β与前面完全一样用几何法解求广义力Qβ令δβ≠0，δα≠0，如图1-17（a）所示，则有所以其实，由式（c）可直接看出Qβ等于上式求广义力Qα：再令δα

6、≠0，δβ≠0如图1-17（b）所示，则有将式（d）代入上式得两种方法得的结果一样例1-8如图1-18所示，重量分别为3P和P的A，B物体系在无重不伸长的绳的两端，绳中间部分绕过滑轮C，D，D，滑轮D为动滑轮，其轴上挂有物体H，物体A放在粗糙的水平面上。求当系统平衡时物体H的重量PH和物体A与水平面间的摩擦系数。解:物体A，B，H的位置即系统的位置，三物体的位置分别由坐标xA,yB和yH确定；绳的长度不变，物体间有一个约束关系，故系统有两个自由度。或这样分析，三物体中必须给定两个物体的位置，另一个物体的位置才能确定，也说明系统有两个自由度。选取xA和yB为广义坐标，

7、视摩擦力FA为主动力。令δyB=0，给A给以图示虚位移δxA；则H相应的虚位移为δyH，δyH=δxA/2主动力所作虚功的和为由此得对应于广义坐标xA的广义力为平衡时，QA=0，则有再令δxA=0，给B以图示虚位移δyB；则H相应的虚位移仍然是图示δyH，δyB=2δyH同理可得将式（b）与式（a）对比得因系统为静平衡，故