实变函数习题解答(2).pdf

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第二章习题解答1、证明P0E的充要条件是对任意含有P0的邻域U(P，)（不一定以P096为中心）中，恒有异于P0的点P1属于E（事实上，这样的P1还有无穷多个）。而0P0E的充要条件则是有含P0的邻域U(P，)（同样，不一定以P0为中心）存在，使U(P，)E。证明：（1）充分性，用反证法，若P0E，则P0的某一邻域U(P0，0)中至多有有限个异于P0的点X1，X2，⋯，Xn属于E，令mind(P0，x

2、i)=，1in在U(P0，)中不含异于P0的点属于E，这与条件矛盾。必要性，设U(P，)是任意一个含有P0的邻域，则d(P0，E)<，令1=-d(P0，P)>0，则U(P0，1)U(P，)。因为P0E，所以，在U(P0，1)中含于无穷多个属于E的点，其中必有异于P0的点P1，即U(P，)中有异于P0的点P1。（2）必要性是显然的，下面证明充分性，设含有97P0的邻域U(P，)E，则d(P0，P)<，令1=-d(P0，P)，则U(P0，1)U(P，)，从而U(P0，01)E，故P0E。0n2、设R

3、=R是全体实数，E1是[0，1]上的全部有理点，求E1，E1，E1。0解：E1=[0，1]，E1=，E1=[0，1]。0n2223、设R=R是普通的xoy平面，E2={(x，y)

4、x+y<1}，求E2，E2，E2。22解：E2={(x，y)

5、x+y≤1}，022E2={(x，y)

6、x+y<1}，22E2={(x，y)

7、x+y≤1}。1n2sin当x04、设R=R是普通的xoy平面，E3是函数y=x的图形上0当x00的点作成的集合，求E3，E3。1解：E3={(x，y)

8、x≠0，y=sinx}{(

9、0，y)

10、-1≤y≤1}981⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯0E3=025、在R中看第2题的E1，E1，E1各是由哪些点构成的。解：E1={(x，0)

11、0≤x≤1}0E1=E1=E16、证明点集F为闭集的充要条件是F＝F。证明：充分性，若F＝F，则FF＝F，故FF，即F为闭集。必要性，若F为闭集，则FF，所以FF＝F，即F＝F。7、证明开集减闭集后的差集仍是开集，闭集减开集后的差集仍是闭集。证明：设G是一开集，F是一闭集，则CG是

12、闭集，CF是开集，所以G－F＝GCF是开集，F－G＝FCG是闭集。8、设f(x)是（－∞，＋∞）上的实值连续函数，则对于任何常数a，E＝99{x

13、f(x)>a}是开集，而E1＝{x

14、f(x)≥a}是闭集。证明：若E＝{x

15、f(x)>a}＝，则E是开集，若E≠，x0E，有f(x0)>a，因为f(x)在x0连续，所以>0，当xU(x0，)时，有f(x)>a，即U(x0，)E，所以x0是E的内点，故E是开集。同理可证{x

16、f(x)

17、f(x)≥a}是{x

18、f(x)

19、所以E1是闭集。9、证明每个闭集必是可数个开集的交集，每个开集可以表示成可数个闭集的和集。1证明：设F为闭集，令Gn＝{x

20、d(x，F)

21、开集。2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯以下证明F＝Gn。显然FGn(n＝1，2，⋯)，所以FGn。n1n11xGn，有xGn(n＝1，2，⋯)、d(x，F)

22、110、证明用十进位小数表示[0，1]中的数时，用不着数字7的一切数成一完备集。证明：在[0，1]中，第一位小数用到数字7的小数是(0.7，0.8)，第二位小数用到7的小数是(0.07，0.08)，(0.17，0.18)，⋯，(0.97，0.98)，⋯。第n位小数用到数字7的小数是(0.a1a2⋯an17，0.a1a2⋯an18)（其中a1，a2，an1是0，1，2，⋯，9取完各种可能的n－1个数）记这些开区间的全体为An，n1设[0，1]上不用数字7表示的小数的全体为E，则E＝C[(An)∪(