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《直线的参数方程及其应用举例.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、.直线的参数方程及应用问题1：（直线由点和方向确定）l求经过点P0(x0,y0)，倾斜角为的直线l的参数方程.yP(x,y)设点P(x,y)是直线l上任意一点，（规定向上的方向为直线L的正方向）过点P作y轴的平行线，过P0P0作x轴的平行线，两条直线相交于Q点.Qx1)当P0P与直线l同方向或P0和P重合时，0P0P＝
2、P0P
3、则P0Q＝P0PcosQP＝P0Psin2)当P0P与直线l反方向时，P0P、P0Q、QP同时改变符号lP0yP0P＝－
4、P0P
5、P0Q＝P0PcosQP＝P0Psin仍成立设P0P＝t，t为参数，P(x,y)又∵P0Q＝xx0，xx0＝tcosQxQP
6、＝yy0∴yy0=tsin0xx0tcos即是所求的直线l的参数方程yy0tsin∵P0P＝t，t为参数，t的几何意义是：有向直线l上从已知点P0(x0,y0)到点P(x,y)的有向线段的数量，且
7、P0P
8、＝
9、t
10、①当t>0时，点P在点P0的上方；②当t＝0时，点P与点P0重合；③当t<0时，点P在点P0的下方；xx0t特别地，若直线l的倾斜角＝0时，直线l的参数方程为yyy0④当t>0时，点P在点P0的右侧；P0P(x,y)⑤当t＝0时，点P与点P0重合；l⑥当t<0时，点P在点P0的左侧；x0问题2：直线l上的点与对应的参数t是不是一l对应关系？y我们把直线l看作是实数轴，
11、P0以直线l向上的方向为正方向，以定点P0为原点，以原坐标系的单位长为单位长，xP这样参数t便和这条实数轴上的点P建立了0一一对应关系.问题3：P1、P2为直线l上两点所对应的参数分别为t1、t2，则P1P2＝？，∣P1P2∣=？P1P2＝P1P0＋P0P2＝－t1＋t2＝t2－t1，∣P1P2∣=∣t2－t1∣'..问题4：若P0为直线l上两点P1、P2的中点，P1、P2所对应的参数分别为t1、t2，则t1、t2之间有何关系？ly根据直线l参数方程t的几何意义，P2P1P＝t1，P2P＝t2，∵P0为直线lP0上两点P1、P2的中点，∴
12、P1P
13、＝
14、P2P
15、xP1P＝－P2P
16、，即t1＝－t2,t1t2<0P1一般地，若P1、P2、P3是直线l上的点，0所对应的参数分别为t1、t2、t3，P3为P1、P2的中点t1t2则t3＝（∵P1P3＝－P2P3,根据直线l参数方程t的几何意义，2∴P1P3=t3－t1,P2P3=t3－t2,∴t3－t1=－(t3－t2,)）总结：1、直线参数方程的标准式(1)过点P0(x0,y0)，倾斜角为的直线l的参数方程是xx0tcos（t为参数）t的几何意义：t表示有向线段P0P的数量，P(x,y)yy0tsinP0P=t∣P0P∣=t为直线上任意一点.(2)若P1、P2是直线上两点，所对应的参数分别为t1、t2，则P1
17、P2=t2－t1∣P1P2∣=∣t2－t1∣(3)若P1、P2、P3是直线上的点，所对应的参数分别为t1、t2、t3t1t2t1t2则P1P2中点P3的参数为t3＝,∣P0P3∣=22(4)若P0为P1P2的中点，则t1＋t2＝0，t1·t2<02、直线参数方程的一般式b过点P0(x0,y0)，斜率为k的直线的参数方程是axx0at（t为参数）yy0bt例题：1、参数方程与普通方程的互化例1：化直线l1的普通方程x3y1＝0为参数方程，并说明参数的几何意义,说明∣t∣的几何意义.解：令y=0,得13x＝1，∴直线l1过定点(1,0).k＝－=－33'..3531设倾斜角为，tg
18、=－,=,cos=－,sin=36223l1的参数方程为x1t（t为参数）21yt2t是直线l1上定点M0（1，0）到t对应的点M(x,y)的有向线段M0M的数3222量.由x1t(1)(1)、(2)两式平方相加,得(x1)yt21yt(2)222∣t∣＝(x1)y∣t∣是定点M0（1，0）到t对应的点M(x,y)的有向线段M0M的长.点拨：求直线的参数方程先确定定点，再求倾斜角,注意参数的几何意义.x3t例2：化直线l2的参数方程（t为参数）为普通方程，并求倾斜角，y13t说明∣t∣的几何意义.x3t(1)解：原方程组变形为(1)代入(2)消去参数t，y13t(2)得y13(
19、x3)(点斜式)可见k=3,tg=3,倾斜角=3普通方程为3xy331022222(x3)(y1)(1)、(2)两式平方相加,得(x3)(y1)4t∴∣t∣=2∣t∣是定点M0（3，1）到t对应的点M(x,y)的有向线段M0M的长的一半.点拨：注意在例1、例2中，参数t的几何意义是不同的，直线l1的参数方程3x1tcos53212为x1t即是直线方程的标准形式，(-)+()=1,t的几何261522ytytsin26x3t意义是有向线段M0M的数量.直线l2的参数方程为是非标准的形y13t2
