不等式的综合应用(一轮复习学案及答案)

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1、高三一轮复习☆☆☆☆☆不等式的综合应用不等式的综合应用知识梳理1.本课时要解决方程与不等式、函数与不等式、数列与不等式、几何与不等式的综合问题。2.解决上述问题的关键是找出综合题的各部分知识点和解法，充分利用数学思想和数学方法求解。典例精析类型一不等式在函数中的应用例1．已知f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，f(1)＝1，且当a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，有(1)若f(x)≤m2-2m+1，对所有x∈[-1，1]，恒成立，求实数m的取值范围；(2)解不等式。解:（1）是定义在[-1，1]上的奇函数，任取且则，函

2、数f(x)在[-1，1]上是增函数。f(x)≤m2-2m+1，对所有x∈[-1，1]，恒成立等价于f(x)max≤m2-2m+1，又函数f(x)在[-1，1]上是增函数，.故实数m的取值范围是：。（2）原不等式不等式的解集为。类型二不等式在数列中的应用例2．已知数列满足.(1)求数列4高三一轮复习☆☆☆☆☆不等式的综合应用的通项公式；（2）设a>0,数列满足，若对成立，试求a的取值范围。解：（1），又，是公比为的等比数列，（2），现证：时，对成立。①n=1时，成立;②假设n=k(k≥1)时，成立，则，即n=k+1时，也成立

3、，时，a的取值范围是。类型三不等式在方程中的应用例3．设函数＝ｘ2+8x+3(<0),对于给定的负数，有一个最大的正数，使得在整个区间［０，］上，不等式｜｜≤５都成立。问为何值时最大？求出这个最大的，证明你的结论。解：＝，∵<０∴max=当>５，即－８<<０时，０<<－　　（如图１）4高三一轮复习☆☆☆☆☆不等式的综合应用－５Ｏｘｙ图２∴是方程ｘ2+8x+3＝５的较小根＝ｘＯｙ５图１≤５，即≤－８时，>－　（如图２）∴是方程ｘ2+8x+3＝－５的较大根＝＝，当且仅当＝－８时等号成立，由于>，因此当且仅当＝－８时，取最大值。

4、类型四不等式在几何中的应用例4．如图，已知面，于D，。（1）令，，试把表示为的函数，并求其最大值；（2）在直线PA上是否存在一点Q，使得？．解：（1）∵面，于D，∴。∴。∴。∵为在面上的射影。∴，即。∴。4高三一轮复习☆☆☆☆☆不等式的综合应用即的最大值为，等号当且仅当时取得。（2）由正切函数的单调性可知：点Q的存在性等价于：是否存在点Q使得。。令，解得：，与交集非空。∴满足条件的点Q存在。类型五不等式的实际中的应用例5．用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如右图)设容器高为h米，盖子边长为

5、a米，(1)求a关于h的解析式；(2)设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？求出V的最大值(求解本题时，不计容器厚度)解：①设h′是正四棱锥的斜高，由题设可得：消去②由(h＞0)得：所以V≤，当且仅当h=即h=1时取等号故当h=1米时，V有最大值，V的最大值为立方米.反思小结：1．不等式综合问题体现在一是应用方面，运用不等式知识可解决求最值、范围等问题和一些实际问题；二是不等式与函数、方程、数列、几何等知识的交汇、转化。2．不等式恒成立问题是常见题型，常用解法为：(])构造函数法，(2)分离变量法。3．不等式的实

6、际应用问题是高考热点之一，而且其非数学背景材料也逐渐趋于复杂，对我们建模能力的要求越来越高，这就要求我们有广博的社会、生活知识，还要注意在平时多运用不等式知识来解决日常生活中司空见惯的现象，说明其道理，也就是要有“用数学”的意识．4.函数方程思想、数形结合思想、化归转化思想、逻辑划分思想、函数建模思想是解决不等关系问题的重要思想方法,在解决不等关系的问题中发挥着至关重要的作用。4