matlab微分方程的求解的方法ppt课件.ppt

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1、定义：含有导数的方程称为微分方程。如f(x,y(x),y’(x))=0微分方程模型1、微分方程的一般形式：F(x,y,y’,…,y(n))=0隐式或y(n)=f(x,y,y’,…,y(n-1))显式特殊情形：2、一阶微分方程组的一般形式：初始条件：y(x0)=y0微分方程模型③图形解tyo①简单的微分方程。②复杂、大型的微分方程。返回①解析解y=f(t)②数值解(ti,yi)欧拉方法改进欧拉方法梯形法龙格-库塔法微分方程求解方法简介微分方程数值解1、欧拉法2、龙格—库塔法数值求解思想：(变量离散化)引入自变量点列{xn}→{yn}，在x0x1x2

2、…xn…上求y(xn)的近似值yn.通常取等步长h，即xn=x0+n×h，或xn=xn-1+h，（n=1,2,…)。1)向前欧拉公式:（y’=f(x,y)）y(xn+1)y(xn)+hf(xn,y(xn))(迭代式)yn+1yn+hf(xn,yn)(近似式)特点：f(x,y)取值于区间[xn,xn+1]的左端点.在小区间[xn,xn+1]上用差商代替微商(近似),1、欧拉方法yn+1yn+hf(xn+1,yn+1)特点：①f(x,y)取值于区间[xn,xn+1]的右端点.②非线性方程,称‘隐式公式’。yn+1=yn+hf(xn,yn)2)

3、向后欧拉公式方法：迭代（y’=f(x,y)）x=[];y=[];x(1)=x0;y(1)=y0;forn=1:kx(n+1)=x(n)+n*h;y(n+1)=y(n)+h*f(x(n),y(n));(向前）end1、欧拉方法例1观察向前欧拉、向后欧拉算法计算情况。与精确解进行比较。误差有多大？解：1）解析解：y=x+e-x1、欧拉方法2）向前欧拉法：yn+1=yn+h(-yn+xn+1)=(1-h)yn+hxn+h3）向后欧拉法：yn+1=yn+h(-yn+1+xn+1+1)转化yn+1=(yn+hxn+1+h)/(1+h)y’=f(x,y)=-y+

4、x+1;1、欧拉方法x1(1)=0;y1(1)=1;y2(1)=1;h=0.1;(died.m)fork=1:10x1(k+1)=x1(k)+h;y1(k+1)=(1-h)*y1(k)+h*x1(k)+h;y2(k+1)=(y2(k)+h*x1(k+1)+h)/(1+h);endx1,y1,y2,（y1——向前欧拉解，y2——向后欧拉解）x=0:0.1:1;y=x+exp(-x)（解析解）plot(x,y,x1,y1,'k:',x1,y2,'r--')1、欧拉方法x精确解向前欧拉向后欧拉01110.11.004811.00910.21.01871.0

5、11.02640.31.04081.0291.05130.41.07031.05611.08300.51.10651.09051.12090.61.14881.13141.16450.71.19661.17831.21320.81.24931.23051.26650.91.30661.28741.324111.36791.34871.3855（1）步长h=0.1的数值解比较表计算结果（2）步长h=0.01的数值解比较表x精确解向前欧拉向后欧拉01110.11.00481.00441.00530.21.01871.01791.01950.31.0408

6、1.03971.04190.41.07031.06901.07170.51.10651.10501.10800.61.14881.14721.15040.71.19661.19481.19830.81.24931.24751.25110.91.30661.30471.308411.36791.36601.3697结论：显然迭代步长h的选取对精度有影响。图形显示有什么方法可以使精度提高？向后欧拉法返回梯形公式改进欧拉公式yn+hf(xn,yn)返回x精确解向前欧拉向后欧拉改进欧拉011110.11.004811.00911.0050.21.01871.

7、011.02641.0190.31.04081.0291.05131.04120.41.07031.05611.08301.07080.51.10651.09051.12091.10710.61.14881.13141.16451.14940.71.19661.17831.21321.19720.81.24931.23051.26651.25000.91.30661.28741.32411.307211.36791.34871.38551.3685步长h=0.1的数值解比较表使用改进欧拉公式的例2、龙格-库塔法龙格-库塔法是利用泰勒展式将y(x+h)

8、在x处展开，并取其前面若干项来近似y(x+h)而得到公式y(x+h)y(x)+hj(x,y(x),h)如果