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1、高等数学数学是科学的大门和钥匙.—培根(AdvancedMathematics)注：该课件针对同济大学应用数学系编著的《微积分》（上、下）（面向21世纪课程教材）11.集合(set)概念与记号具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该映射与函数一、集合集合元素(简称元)(集)元素(element).集合的通常以大写字母等表示集合,以小写字母等表示集合的元素.否则记记作或2映射与函数集合分类有限集无限集只含有限个元素;不是有限集的集合.列举法表示集合方法有两种描述法把集合的全部元素一一列出来,例考察由下列元素可以用
2、列举法将其表示成列举法有很大的局限性.组成的集合外加花括号.有限个元素例如，xOy平面上适合方程的点(x,y)的全体组成的集合，无法用列举法表示3映射与函数如:由不超过的奇数组成的集合,其元素有50亿个,要把它们全部写出来,且有很多集合,其元素是很多纸张!根本无法一一罗列出来.得用很多时间,不可数的,更常用的是列出规定这个集合特定性质P的办法来表示集合,就是描述法.花括号中竖线前的x而竖线后是M中元素的通用符号,则是x所具有的性质.可用列举法表示为的根组成的集合也可用描述法表示为例由方程4映射与函数注对几个常用的数集规定记号
3、如下数集的字母的数集内排除0的集.“ ”“ ”数集内排除0与负数的集.全体非负整数即自然数的集合N即N,全体正整数的集合为N+全体整数的集合记作Z,即Z右上角标上:5映射与函数全体有理数的集合即QZ,N+全体实数的集合R＊为排除0的实数集,R+为全体正实数的集.记作Q,记作R,全体复数的集合记作C,即CR,6两个集合一般地,如则映射与函数子集则称集合A与B相等,记作则称2.集合(set)的关系及集合的运算(1)集合的关系子集,(读作A包含于B)或(读作B包含A).集合相等记作7映射与函数如空集.不含任何元素的集合称为则称真子
4、集记作如NZQR.真子集,空集规定空集为任何集合的子集.今后在提到一个集合时,一般都是如不加特别声明,非空集.8映射与函数2.集合(set)的关系及集合的运算集合的基本运算有三种:并集,交集,差集.即记作设A,B是两个集合,由所有属于A称为A与B的并集,A∪BA∪B,(2)集合的运算于B元素或者属组成的集合,9映射与函数称为A与B的记作即交集,由所有既属于A由所有属于A称为A与B的差集,记作即又属于B元素集合的基本运算有三种:并,交,差.A∩BA∩B,组成的集合,而不属于B的元素组成的集合,两个集的并与交可推广到任意多个集推
5、广并与交.10映射与函数注研究某个问题时所考虑的对象的全体记作例如,则余集或补集.A∪BA∩B并用I表示,称为全集或基本集,并把差积特别称为A的例如,在实数集R中,集合的余集113.集合(set)的运算法则映射与函数为任意三个集合,则下列法则成立:(1)交换律A∪B=B∪A,A∩B=B∩A;(2)结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C),(A∩B)∩C=A∩(B∩C);(3)分配律(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C),(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C);(4)对偶律(A∪B)C=AC∩BC,(A∩B)C=AC∪BC;12映
6、射与函数(5)幂等律A∪AA∩A(6)吸收律A∪=A,=A;=A,A∩=4.直积(乘积集或笛卡儿乘积)法国数学家、哲学家(Descartes1596~1650年)设A,B是两个集合,则称为A,B的直积.如,又如,即为xOy面上全体点的集合,常记作即135.区间(interval)区间是指介于某两个实数之间的全体实数.称为称为这两个实数叫做区间的端点.映射与函数开区间,闭区间,14称为有限区间无限区间映射与函数半开半闭区间.全体实数的集合R也可记作是无限区间.15映射与函数区间长度的定义两端点间的距离(线段的长度)称为区间的今
7、后在不需要辨明所论区间是否包含有限区间、称它为“区间”,常用I表示.长度.无限区间的场合,注端点、简单地164.逻辑符号在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号“”表示“任取”,或“任意给定”.“”表示“存在”,“至少存在一个”,或“能够找到”.如实数的阿基米德(Archmed)公理是这样叙述的:任意给定两个正的实数a,b,都存在一个自然数n,用逻辑符号将阿基米德公理改写:Any(每一个)或All(所有的)的字头A的倒写映射与函数Exist(存在)的字头E的倒写练习17符号“”表示“蕴含”,或“推出”.符号“”表示“等价”,或“
8、充分必要”.5.绝对值(absolutevalue)运算性质绝对值不等式映射与函数18映射与函数二、映射1.映射概念(mapping)定义设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对通过f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应,则称f为从X到Y的映(或算子),记作并称y为x(在映射f下)
