任意项级数课件.ppt

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1、任意项级数：为任意实数.7.3任意项级数基本概念：形如或即正负项相间的级数为交错级数.定义7.3.11满足:则级数收敛,且其和其余项(莱布尼兹定理)若交错级数定理7.3.1证.单增且有上界,故证毕.2例1判定级数的敛散性.解所以级数收敛.所以级数收敛.(1)该交错级数满足条件:(2)该交错级数满足条件:3任意项级数：必定收敛.证设收敛,令由正项级数比较判别法知，收敛.由性质2知,收敛.证毕.收敛,若级数则级数正项级数：——绝对值级数定理7.3.241).若收敛,则称为绝对收敛.2).若收敛,但发散,则称为条件收敛.例:条件收敛,绝对收敛.说明1）定理7.3.2逆命题不成立:收敛的级数未必绝对

2、收敛.必收敛.收敛,若则2）若由比值判别法判定发散,则可以断定发散.定义7.3.25设任意项级数当l1时,级数（绝对）收敛;当l1(或)时,级数发散.满足则定理7.3.3从而un0故发散。

3、un

4、0，而不是：注：发散,发散.)（由推不出当r>1时，证明的逻辑是：发散，因为所以发散.6例1.判断下列级数的敛散性.解因收敛,原级数绝对收敛.原级数绝对收敛.7原级数发散.级数显然收敛于0；原级数(绝对)收敛.因为例2.判断下列级数的敛散性.解8例3判定级数的敛散性.解级数条件收敛；级数发散.总之,当

5、x

6、<1时,级数绝对收敛;当x=1时,级数条件收敛;当

7、x

8、>1或x=-1时,级数发散.

9、级数绝对收敛；级数发散；9例4讨论级数的敛散性.解当时,显然级数发散;当时,级数是一个交错级数,且满足条件所以级数收敛.又因为当时,级数收敛；当时,级数发散.综述：当时,级数发散;当时,级数收敛；当时,级数绝对收敛.当时,级数条件收敛；10绝对收敛的性质性质1性质2若级数绝对收敛,和为S,则任意交换此级数的各项顺序后所得级数也收敛,且和不变.若级数都绝对收敛,和分别为S和W,与则它们乘积也绝对收敛,其和为S·W.11正项级数任意项级数收敛法4.充要条件5.比较法6.比值法7.根值法4.绝对收敛5.交错级数(莱布尼茨定理)3.按基本性质;1.2.小结12任意项级数判敛的一般策略：1).检查是否

10、趋于零；2).考虑敛散性,就是正项级数的判敛可用正项级数的各种判别法当收敛绝对收敛。3).当发散,且使用的是比值或根值判别法,发散,4).发散,是交错级数，用莱布尼兹，当收敛条件收敛13.练习：判别级数的敛散性14解将un适当缩小!使缩小后的级数易于判敛!15解因为又因为由推论2知，观察猜测:与相当和谁相当就和谁比！一般项和谁相当？16解：因为计算后项与前项比的极限放缩,简化多种方法综合运用17解∵=a∴当a<1,敛,当a>1,散.当a=1,(4)判断级数(a>0)的敛散性→0(当n→∞)经验：幂指型的用根值18解的敛散性.(5)判别考察的单调性：考虑函数因为所以f(x)单调减，1).2).

11、从而数列un单调减。收敛.所以级数19的敛散性.(6)判别解∵∴从而级数发散。首先试用比值或根值判别法20解由将un适当放大!使放大后的级数易于判敛!21