矩阵与变换复习说明.doc

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1、矩阵与变换复习说明一、考试说明要求：内容要求ABC矩阵的有关概念√二阶矩阵与平面向量√常见的平面变换√矩阵的复合与矩阵的乘法√二阶逆矩阵√二阶矩阵的特征值和特征向量√二阶矩阵的简单应用√二、应知应会知识和方法：1．已知△ABC，A(－1，0)，B(3，0)，C(2，1)，对它先作关于x轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90°．（1）分别求两次变换所对应的矩阵M1，M2；（2）求点C在两次连续的变换作用下所得到的点的坐标．解（1）M1＝，M2＝；（2）因为M＝M2M1＝＝，所以M＝＝．故点C在两次连续的变换作用下所得到的点的坐标是(1，2)．说明考查常见的平面变换及二阶矩阵与平面向量的

2、乘法、矩阵的乘法，并且理解连续两次变换所对应二阶矩阵相乘的顺序．2．二阶矩阵M对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．（1）求矩阵M；（2）设直线l在变换M作用下得到了直线m：x－y＝4，求l的方程．解（1）设M=，则有=，=，所以且解得，所以M=．（2）任取直线l上一点P(x，y)经矩阵M变换后为点P’(x’，y’)．3第3页共3页因为，所以又m：，所以直线l的方程(x+2y)－(3x+4y)=4，即x+y+2=0．说明：考查利用二阶矩阵与平面向量乘法的知识求二阶矩阵的方法；考查求一条曲线经过二阶矩阵变换后的曲线方程的方法．3．设矩阵A＝（a≠0）

3、．（1）求A2 ，A3；（2）猜想An（n∈N*）；（3）证明：An（n∈N*）的特征值是与n无关的常数，并求出此常数．解（1）A2＝，A3＝；（2）An＝（n∈N*）；（3）设An的特征值为λ，则由f(λ)＝＝0，得(λ－1)2＝0，所以λ＝１，它是与n无关的常数．说明：考查矩阵复合的概念及特征多项式的知识．4．已知二阶矩阵A的属于特征值－1的一个特征向量为，属于特征值3的一个特征向量为，求矩阵A．解设A=，由题知=，=3．即，解之得：所以A=．说明考查特征值和特征向量的概念，掌握用待定系数法求二阶矩阵的方法．5．运用旋转变换矩阵．求曲线xy＝3绕原点顺时针旋转45°角后所得的曲线方程．解

4、绕原点顺时针旋转45°的变换矩阵为，即．任取曲线上一点P(x，y)绕原点顺时针旋转45°角后所得点P’(x’，y’)．则＝＝，3第3页共3页所以解得代入xy＝3得，x’2－y’2＝6．故曲线的方程为x2－y2＝6．说明考查常见的旋转变换，掌握求一曲线经过二阶矩阵变换后的曲线方程的方法．6．（1）求矩阵A=的逆矩阵；（2）利用逆矩阵知识解方程组．解（1）设逆矩阵为，则由，得，解得，所以．(2)，即．说明考查逆变换与逆矩阵的概念，掌握用逆矩阵的知识求解方程组的方法．3第3页共3页