高中数学【配套Word版文档】四45两角和与差的正弦余弦和正切.doc

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1、§4.5　两角和与差的正弦、余弦和正切2014高考会这样考　1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换；2.利用三角变换讨论三角函数的图象和性质．复习备考要这样做　1.牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征；2.灵活使用(正用、逆用、变形用)两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键．1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ　(C(α－β))cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β　(C(α＋β))sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin

2、_β　(S(α－β))sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β　(S(α＋β))tan(α－β)＝　(T(α－β))tan(α＋β)＝　(T(α＋β))2．二倍角公式sin2α＝2sin_αcos_α；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝.3．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如T(α±β)可变形为tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)，tanαtanβ＝1－＝－1.4．函数f(α)＝acosα＋bsinα(a，b为常数)，

3、可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定．[难点正本　疑点清源]三角变换中的“三变”(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．1．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝－，则的值为______________________

4、．答案　解析　由sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝－，得sinαcosβ＝，cosαsinβ＝，所以＝＝.2．函数f(x)＝2sinx(sinx＋cosx)的单调增区间为______________________．答案　(k∈Z)解析　f(x)＝2sin2x＋2sinxcosx＝2×＋sin2x＝sin2x－cos2x＋1＝sin＋1，由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.所以所求区间为(k∈Z)．3．(2012·江苏)设α为锐角，若cos＝，则sin的值

5、为________．答案　解析　∵α为锐角且cos＝，∴sin＝.∴sin＝sin＝sin2cos－cos2sin＝sincos－＝××－＝－＝.4．(2012·江西改编)若＝，则tan2α＝_____________________________.答案　解析　由＝，等式左边分子、分母同除cosα得，＝，解得tanα＝－3，则tan2α＝＝.5．(2011·辽宁改编)设sin(＋θ)＝，则sin2θ＝___________.答案　－解析　sin(＋θ)＝(sinθ＋cosθ)＝，将上式两边平方，得(1＋sin2θ)＝，∴sin2θ＝－.题型一　三角函数式的化简、求

6、值问题例1　(1)化简：·；(2)求值：[2sin50°＋sin10°(1＋tan10°)]·.思维启迪：切化弦；注意角之间的联系及转化．解　(1)·＝·＝·＝·＝.(2)原式＝·sin80°＝×cos10°＝2[sin50°·cos10°＋sin10°·cos(60°－10°)]＝2sin(50°＋10°)＝2×＝.探究提高　(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构/与特征．(2)对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有①化为特殊角的三角函数值；②化为正、负相消的项，消去求值；③化分子、分母出现公约数进行约分

7、求值．在△ABC中，已知三个内角A，B，C成等差数列，则tan＋tan＋tantan的值为________．答案　解析　因为三个内角A，B，C成等差数列，且A＋B＋C＝π，所以A＋C＝，＝，tan＝，所以tan＋tan＋tantan＝tan＋tantan＝＋tantan＝.题型二　三角函数的给角求值与给值求角问题例2　(1)已知0<β<<α<π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)的值；(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tanβ＝－，求2α－β的值．思维启迪：(1)拆分角：＝－，利用平方关系分别求各角的正弦、余弦．(2)2α－β＝α＋(α