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1、第七节常见曲面的方程及图形EquationandGraphofSurface教学目的:了解常见的空间曲线的标准方程并知道它们的图像.课题:曲面及其方程;常见的曲面方程及其图形.教学重点:空间曲面的图形及其方程教学难点:常见空间曲线的图形及方程教学方法:精讲常见曲面的方程及图形教学内容:一、曲面及其方程空间任一曲面都可以看作点的集合.在空间直角坐标系中,如果曲面上的任一点的坐标满足三元方程,不在曲面上的点的坐标都不满足该方程,那么就称该方程是曲面的方程,而曲面是该方程的图形或轨迹.【例1】一平面垂直平分两点和间的线段,求该平面的方程.解显然所求平面是
2、与及等距离的点的轨迹.在平面上任取一点,则有,而两边平方,化简,即得所求平面的方程二、常见的曲面方程及其图形1.球面方程空间动点到一定点的距离等于常数,此动点的轨迹即为球面.定点叫做球心,常数叫做球的半径.设球心在点,半径为,在球面上任取一点,有,即两边平方得(1)此方程即为所求的球面方程.当(1)式中,即球心在原点,半径为时,(1)式可化为【例2】下列方程表示什么曲面?(1)(2)(3)解将方程左端配方(1),表示以点为球心,半径的球面;(2),由于此方程只有唯一的一组解:,即它表示一点;(3),这时,空间任一点坐标都不满足方程,即没有几何图像,
3、称之为虚球面.2.母线平行于坐标轴的柱面方程设方程中不含某一坐标,如不含竖坐标,即(2)它在坐标面上的图形是一条曲线,由于方程中不含,故在空间中一切与上的点有相同纵坐标的点均满足方程,也就是说,经过上的任一点而平行于轴的直线上的一切点的坐标均满足方程.反之,如果与曲线上的任何点不具有相同的横、纵坐标,则点的坐标必不满足方程(2).满足方程(2)的点的全体构成一曲面,它是由平行与轴的直线沿平面上的曲线移动而形成的,这种曲面叫做柱面.曲面叫做准线,形成柱面的直线叫做柱面的母线.因此方程(2)在空间的图像是母线平行于轴的柱面.同样地,方程的图像是母线平行
4、于轴的柱面;方程的图像是母线平行于轴的柱面.(1)方程(3)表示柱面,它的准线为面上的椭圆,母线平行于轴,称之为椭圆抛物面.在方程(3)中,当,即时,它表示圆柱面.(2)方程表示准线为面上的双曲线,母线平行于轴的柱面,称之为双曲圆柱面.(3)方程表示准线为面上的抛物线,母线平行于轴的柱面,称之为抛物柱面.3.旋转曲面旋转曲面是由一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周而成的.这条直线叫做该旋转曲面的旋转轴,这条平面曲线叫做旋转曲面的母线.设在平面上的曲线的方程为,把曲线绕轴旋转一周,就得到一个以轴为轴的旋转曲面.它的方程可以这样求得:设为曲线上任一
5、点,则有,当曲线旋转时,点转到点,这时,点和到轴的距离相等,即把代入得这就是所求的旋转曲面的方程.同理,平面上的曲线绕轴旋转一周,所得旋转曲面方程为平面上的曲线绕轴旋转一周,所得旋转曲面方程为方程是平面上的抛物线绕轴旋转一周而成的旋转曲面,称为旋转抛物面.4.常见的二次曲面及其方程(1)椭球面方程所表示的曲面叫做椭球面.(2)单叶双曲面方程所表示的曲面叫做单叶双曲面.(3)双叶双曲面方程所表示的曲面叫做双叶双曲面.特别的,所表示的曲面叫做圆锥面.(4)抛物面(a)椭圆抛物面方程所表示的曲面叫做椭圆抛物面.(b)双曲抛物面方程所表示的曲面叫做双曲抛物
6、面,也叫马鞍面.课堂练习:1.指出下列各方程表示什么曲面.(1)(2)(3)(4)小结:学习了常见曲面的方程及其图形,包括球面、柱面、旋转曲面、二次曲面等.要求了解常见空间曲线的标准方程并指导它们的图像。作业:P154-1,2
