第23讲正弦定理和余弦定理.doc

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1、第23讲正弦定理和余弦定理【考点解读】1．理解并掌握正弦定理，余弦定理和面积公式；2．能正确运用正弦定理，余弦定理及关系式，解决三角形中的计算和证明问题。【知识扫描】1．三角形的内角和定理：三角形三个内角和为（解题请不要忘记！）任意两角和与第三个角总互补，任意两个内角的半角和与第三个角的半角总互余，这样，就可以运用诱导公式了.如，等。2．正弦定理：(为三角形外接圆的半径)。（1）正弦定理的一些变式：①；②（起到化角为边的作用）；③（起到化边为角的作用）。（2）已知三角形两边一对角，运用正弦定理求解三角形时，要注意判断解的情况。3．余弦定理：两种形式：；，已知三角形两边一角，或三边时常用余

2、弦定理，判断三角形的形状时也常用余弦定理.4．面积计算公式：（1）；（2）（3），其中为三角形内切圆的半径；（4），其中。5．解含有边角混合关系的三角形时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化（包括化边为角；化角为边）。6．解斜三角形的常规思维方法：（1）已知两角和一边（如、、），由求角，由正弦定理求、；（2）已知两边及其夹角（如、、），用余弦定理求边；再用正弦定理先求较短边所对的角（或），然后利用，求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如、、），用正弦定理求（要注意解的结果可能有多种情况），由求，再由正弦定理或余弦定理求边；（4）已知三边，用余弦定理求角。（5）三角形内切圆的半径，

3、特别地直角三角形的内切圆的半径（其中为斜边）；【考计点拨】牛刀小试：1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c＝，b＝，B＝120°，则a等于(　　)A.B．2C.D.解析：选D.由正弦定理得＝，∴sinC＝.又∵C为锐角，∴C＝30°，∴A＝30°，△ABC为等腰三角形，a＝c＝.故选D.2．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边．若A＝，b＝1，△ABC的面积为，则a的值为(　　)A．1B．2C.D.解析：选D.由已知得：bcsinA＝×1×c×sin60°＝⇒c＝2，则由余弦定理可得：a2＝4＋1－2×2×1×cos60°＝3⇒a＝.3．在△ABC中，co

4、s2B>cos2A是A>B的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.cos2B>cos2A⇒1－2sin2B>1－2sin2A⇒sin2BsinB⇒A>B.4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若其面积S＝(b2＋c2－a2)，则∠A＝________.解析：由已知得：bcsinA＝(b2＋c2－a2)⇒＝sinA，由余弦定理可得cosA＝sinA⇒A＝.答案：5．在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足a＋b＋c＝＋1，sinA＋sinB＝sinC，则c＝________；

5、若C＝，则△ABC的面积S＝________.解析：依题意及正弦定理得a＋b＝c，且a＋b＋c＝＋1，因此c＋c＝＋1，c＝1，当C＝时，c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝1，∴(a＋b)2－3ab＝1.又a＋b＝，因此2－3ab＝1，∴ab＝，则△ABC的面积S＝absinC＝×sin＝.答案：1　6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos＝，·＝3.(1)求△ABC的面积；(2)若c＝1，求a的值．解：(1)因为cos＝，所以cosA＝2cos2－1＝，sinA＝.又由·＝3，得bccosA＝3，所以bc＝5.因此S△ABC＝bcsinA＝

6、2.(2)由(1)知，bc＝5，又c＝1，所以b＝5，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝20，所以a＝2.考点一正弦定理和余弦定理【例1】在中，，，是角，，的对边，且[（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值．【解析】（1）由即，，又，（2）（当且仅当时取等号）【变式训练】在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB=,则角B的值为（）A.B.C.或D.或【标准解析】考查余弦定理的运用【技巧点拨】先利用余弦定理变形，找到角的关系式，然后求解。【答案】D要点二正余弦定理在三角形中的运用【例2】已知△中，角，，的对边分别为，，，且，．（Ⅰ）

7、若，求；（Ⅱ）若，求．整理得．因为，所以.故，解得.由，且，得.由，即，解得.………………7分（Ⅱ）因为，又,所以，解得.………………10分由此得，故△为直角三角形，△ABC中，a+b=10，而cosC是方程2x2－3x－2=0的一个根，求△ABC周长的最小值【命题立意】本试题是考查运用余弦定理在解三角形中的简单运用。【标准解析】：由余弦定理可得，然后运用函数思想加以处理【误区警示】能分析已知，得到选择合适定理进行解答。[来源:Z§