中考数学压轴题汇总情况.doc

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1、中考数学压轴题汇总（一）17.（2005）如图，在平面直角坐标系，⊙C与y轴相切于D点，与x轴相交于A（2，0）、B（8，0）两点，圆心C在第四象限.（1）求点C的坐标；（2）连结BC并延长交⊙C于另一点E，若线段BE上有一点P，使得AB2＝BP·BE，能否推出AP⊥BE？请给出你的结论，并说明理由；（3）在直线BE上是否存在点Q，使得AQ2＝BQ·EQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，也请说明理由.[解]（1）C（5，-4）；（2）能。连结AE，∵BE是⊙O的直径，∴∠BAE=90°.在△ABE与△P

2、BA中，AB2＝BP·BE,即,又∠ABE=∠PBA,∴△ABE∽△PBA.∴∠BPA=∠BAE=90°,即AP⊥BE.（3）分析：假设在直线EB上存在点Q，使AQ2＝BQ·EQ.Q点位置有三种情况：①若三条线段有两条等长，则三条均等长,于是容易知点C即点Q；②若无两条等长，且点Q在线段EB上，由Rt△EBA中的射影定理知点Q即为AQ⊥EB之垂足；③若无两条等长，且当点Q在线段EB外，由条件想到切割线定理，知QA切⊙C于点A.设Q(),并过点Q作QR⊥x轴于点R,由相似三角形性质、切割线定理、勾股定理、三

3、角函数或直线解析式等可得多种解法.解题过程：①当点Q1与C重合时，AQ1=Q1B=Q1E,显然有AQ12＝BQ1·EQ1,∴Q1(5,-4)符合题意；②当Q2点在线段EB上，∵△ABE中，∠BAE=90°∴点Q2为AQ2在BE上的垂足，∴AQ2==4.8（或）.∴Q2点的横坐标是2+AQ2·∠BAQ2=2+3.84=5.84,又由AQ2·∠BAQ2=2.88,∴点Q2（5.84，-2.88）,③方法一：若符合题意的点Q3在线段EB外,则可得点Q3为过点A的⊙C的切线与直线BE在第一象限的交点.由Rt△Q3

4、BR∽Rt△EBA，△EBA的三边长分别为6、8、10,故不妨设BR=3t，RQ3=4t，BQ3=5t,由Rt△ARQ3∽Rt△EAB得，即得t=，〖注:此处也可由列得方程；或由AQ32=Q3B·Q3E=Q3R2+AR2列得方程)等等〗∴Q3点的横坐标为8+3t=，Q3点的纵坐标为，即Q3（，）.方法二：如上所设与添辅助线,直线BE过B(8,0),C(5,-4),∴直线BE的解析式是.设Q3（，）,过点Q3作Q3R⊥x轴于点R,∵易证∠Q3AR=∠AEB得Rt△AQ3R∽Rt△EAB,∴,即,∴t=,进而

5、点Q3的纵坐标为，∴Q3（，）.方法三：若符合题意的点Q3在线段EB外,连结Q3A并延长交轴于F,∴∠Q3AB=∠Q3EA，,在Rt△OAF中有OF=2×=，点F的坐标为（0，）,∴可得直线AF的解析式为,又直线BE的解析式是,∴可得交点Q3（，）.18.（2005长宁）如图1，抛物线关于y轴对称，顶点C坐标为（0，h）(h>0)，交x轴于点A（d,0）、B（-d,0）（d>0）。（1）求抛物线解析式（用h、d表示）；（2）如图2，将ABC视为抛物线形拱桥，①～⑤拉杆均垂直x轴，垂足依次在线段AB的6等分

6、点上。h=9米。(i)求拉杆⑤DE的长度；FGxyCBOA图4(ii)若d值增大，其他都不变，如图3。拉杆⑤DE的长度会改变吗？(只需写结论)（3）如图4，点G在线段OA上，OG=kd（比例系数k是常数，0≤k≤1），GF⊥x轴交抛物线于点F。试探索k为何值时，tg∠FOG=tg∠CAO？此时点G与OA线段有什么关系？[解]（1）用顶点式，据题意设y=ax2+h代入A（d，0）得a=∴y=x2+h(2)(i)h=9，代入（1）中解析式得y=x2+9据题意OE=d，设D（d，yD）点D在抛物线上，yD=(d

7、)2+9=5，∴DE=5米。(ii)拉杆⑤DE的长度不变。（3）OG=kd，∴点F坐标可设（kd，yF）代入y=x2+h，得：yF=h(1－k2)tg∠FOG=tg∠CAO，=解得（∵0

8、段AB上运动但不与A、B重合时，能否使△EF的一边与x轴垂直？若能，请求出此时点的坐标；若不能，请你说明理由。[解]（1）设把代入得∴即（2）顶点P（AP=AB=BP=6∴作于G，则，又，在中，∴（3）若轴则，（舍去）∴若轴则，（舍去）∴若轴，显然不可能。∴或20.（2006）已知抛物线：（，为常数，且，）的顶点为，与轴交于点；抛物线与抛物线关于轴对称，其顶点为，连接，，．注：抛物线的顶点坐标为．（1）请在横线上直接写出抛物线