数学物理方法5傅里叶变换ppt课件.ppt

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1、第五章傅里叶变换对自然界的最深刻的研究是数学最富饶的源泉。----傅里叶1学习要求与内容提要目的与要求：了解在任意有限区间上函数的傅里叶级数展开法；掌握周期函数的傅里叶展开、定义和性质；δ函数的定义与性质。重点：难点：傅里叶变换、δ函数。δ函数的概念。21807年12月21日，Fourier向法国科学院宣布：任意的周期函数都能展开成正弦及余弦的无穷级数。当时整个科学院，包括拉格朗日等，都认为他的结果是荒谬的。傅立叶的两个最主要的贡献:“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”——傅里叶的第二个主

2、要论点5.1傅里叶级数31.波的叠加在普通物理学中,我们已经知道最简单的波是谐波(正弦波),它是形如Asin(ωt+φ)的波,其中A是振幅,ω是角频率,φ是初相位.其他的波如矩形波,锯齿形波等往往都可以用一系列谐波的叠加表示出来.（一）周期函数的傅里叶展开非正弦周期函数:矩形波可以用不同频率正弦波叠加构成！45由上例可以推断：一个周期为2l的函数f(x+2l)=f(x)可以看作是许多不同频率的简谐函数的叠加.6[-l,l]上的积分等于0.①其中任意两个不同的函数之积在2.三角函数族及其正交性引入三角函数族上的积分不等于0.②两个相同的函数的乘积在[-l,l]7证:同理

3、可证:①任意两个不同的函数之积在[-l,l]上的积分等于0.8同理可证:9②两个相同的函数的乘积在[-l,l]上的积分不等于0.证:10如果周期为2l的函数f(x)满足收敛定理条件,则它可以展开式为下列级数(在f(x)的连续点处)3.周期函数的傅里叶展开①式①称为f(x)的傅里叶级数.式中a0,ak,bk称为函数f(x)的傅里叶系数;问题:a0,ak,bk等于什么?我们利用三角函数族的正交性来求解11对①在[-l,l]逐项积分,得①乘在[-l,l]逐项积分并运用正交性,得由三角函数的正交性0由三角函数的正交性得0n=k由三角函数的正交性012类似地,用sinkπξ/l

4、乘①式两边,再逐项积分可得归纳:13(1)处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；(2)在每个周期内只有有限个极值点，则傅里叶级数收敛，且在收敛点有：在间断点有：狄里希利定理:若函数f(x)满足条件：4.傅里叶级数的收敛性定理注:第一类间断点如果f(x)在间断点x0处左右极限存在,则称点x0为f(x)的第一类间断点.14其中(在f(x)的连续点处)如果f(x)为奇函数,则a0和ak均为零，即有傅里叶正弦级数（二）奇函数和偶函数的傅里叶展开说明：15如果f(x)为偶函数,则bk为零，即有傅里叶余弦级数(在f(x)的连续点处)其中注:无论哪种情况,在f(x)的间断

5、点x处,傅里叶级数都收敛于说明：16当函数定义在任意有限区间上时,变换法令即在上展成傅里叶级数周期延拓将在回代入展开式上的傅里叶级数其傅里叶展开方法:（三）有限区间中的函数的傅里叶展开*(自学)17延拓法在上展成正弦或余弦级数奇或偶式周期延拓18利用欧拉公式已知周期为2l的周期函数f(x)可展开为级数：（四）复数形式的傅里叶展开19注意到同理20傅里叶级数的复数形式:因此得21例2：矩形波解：coskπk=2n:coskπ=1k=2n+1:coskπ=-1221.周期为2l的函数的傅里叶级数展开公式(x间断点)其中当f(x)为奇(偶)函数时,为正弦(余弦)级数.2.

6、在任意有限区间上函数的傅里叶展开法变换延拓3.傅里叶级数的复数形式利用欧拉公式导出内容小结2312§5.1作业2425周期函数的性质是f(x+2l)=f(x),x每增大2l，函数值就重复一次，非周期函数没有这个性质，但可以认为它是周期2l∞的周期函数。所以，我们也可以把非周期函数展开为所谓“傅里叶积分”。5.2傅里叶积分与傅里叶变换考察复数形式的傅里叶级数:（一）傅里叶变换2526非周期函数的复数形式的形式“傅里叶级数”:引入新参量：上式改写为：2627令有若有限，则非周期函数可以展开为称f(x)的傅里叶变换称F(ω)的逆傅里叶变换像函数原函数注意到：2728傅里叶

7、积分定理：若函数f(x)在区间(-，+)上满足条件:(1)在任意有限区间满足狄里希利条件；(2)在区间(-，+)上绝对可积（即收敛），则f(x)可表为傅里叶积分，且傅里叶积分值=f(x)的傅里叶变换式28奇函数与偶函数的傅里叶变换傅里叶变换对29当f(x)是偶函数当f(x)是奇函数进一步注意到当f(x)是偶函数同理,当f(x)是奇函数3031例1定义:矩形函数为将矩形脉冲展开为傅里叶积分。解:矩形脉冲函数的周期为[-T,T],如右图.31(1)导数定理（二）傅里叶变换的基本性质根据傅里叶积分定理，32(2)积分定理由变上限积分定理：由导数定理