空间图形的公理（公理4定理） 课件（北师大版必修二）.ppt

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1、对公理4的理解(1)本质：表明了空间中线线平行的传递性.(2)作用：公理4给出了空间两条直线平行的一种证明方法.它是论证平行问题的主要依据之一，也是研究空间两直线的位置关系、直线与平面位置关系的基础.公理4的应用(3)应用：“等角定理”的证明是公理4的直接应用.(4)关键：寻找第三条直线分别与前两条直线平行是应用公理4证明线线平行的关键.也就是说，要证空间中的两直线平行，就要找一条与之平行的直线，利用传递性证明.平面几何中的结论推广到空间之后，未必成立，其正确性是需要证明的，这一点在今后的学习中

2、要特别注意.【例1】空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD上的点且请回答并证明当空间四边形ABCD的四条边及点G、H(1)满足什么条件时，四边形EFGH为平行四边形？(2)满足什么条件时，四边形EFGH为菱形？【审题指导】由可想到利用平行线分线段成比例定理证明EF∥AC；为使四边形EFGH为平行四边形，根据公理4需证明GHAC；为使四边形EFGH为菱形，在(1)成立的情况下，还需证明EH=EF，进一步可得AC、BD的关系.【规范解答】(1)当时，四边形EFGH为平行四边

3、形.理由：若则HG∥AC且∴EFHG，∴四边形EFGH为平行四边形.(2)当且时，四边形EFGH为菱形.理由：由(1)知，若则四边形EFGH为平行四边形.且若则∴平行四边形EFGH为菱形.【互动探究】在本例中若条件不变，请回答下列问题并证明(1)满足什么条件时，四边形EFGH为矩形；(2)满足什么条件时，四边形EFGH为正方形.【解题提示】解答本题一方面要应用公理4证明平行关系，另一方面要利用异面直线所成角的定义证明垂直关系.【解析】(1)当且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形.理由：由例题知时

4、，四边形EFGH为平行四边形，且EF∥HG∥AC，EH∥GF∥BD.∴当AC⊥BD时，EF⊥EH，∠HEF为90°.∴四边形EFGH为矩形.(2)当且AC⊥BD时，四边形EFGH为正方形.理由：由例题(2)及上面所得(1)可知.由可知四边形EFGH为平行四边形.由及AC⊥BD得四边形EFGH为正方形.【例】如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AE=A1E1，AF=A1F1，P∈E1F1，(1)过P作一条直线与棱CD平行，说明作法；(2)求证：EFE1F1.【审题指导】在空间中作已知直线的平

5、行线，通常要考虑用公理4；要证EFE1F1，只需证明四边形EFF1E1是平行四边形即可.【规范解答】(1)如图，在平面A1B1C1D1内过P作直线l∥C1D1，∵CD∥C1D1,∴l∥CD，故l为所求作直线.(2)连接EE1，FF1.∵AEA1E1，∴四边形AEE1A1为平行四边形,∴AA1E1E，同理AA1F1F,∴EE1F1F,即四边形EFF1E1为平行四边形,∴EFE1F1.【变式备选】如图所示，E、F分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1A、C1C的中点.求证：四边形B1EDF是

6、平行四边形.【证明】设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1，∵E是AA1的中点，∴EQA1D1，又在矩形A1B1C1D1中，A1D1B1C1，∴EQB1C1，∴四边形EQC1B1为平行四边形，∴B1EC1Q.又∵Q、F分别是DD1、C1C两边的中点，∴QDC1F.∴四边形DQC1F为平行四边形，∴C1QDF.又∵B1EC1Q，∴B1EDF，∴四边形B1EDF是平行四边形.【误区警示】证明此类问题时，同学们容易出现证明过程太简单，推理依据不充足，“想当然”地认为结论成立的情况，这种思维定势是学好立体

7、几何的障碍之一.对“等角定理”的理解(1)本质：“等角定理”是平面几何中等角定理的类比推广.(2)作用：①解决空间中角的平移的问题.②揭示空间中两条边对应平行的两个角的大小关系.“等角定理”的应用(3)两个推论：推论1如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相同.推论2如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且有一组对边方向相同，另一组对边方向相反，那么这两个角互补.【例2】如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别为所在边的中点.求证：

8、(1)EFE1F1；(2)∠EA1F=∠E1CF1.【审题指导】空间中证明线线平行，线段与线段长度相等，可以利用平行关系和线段长度关系的传递性，选择“中间线段”证明.空间中证明角与角相等，可以利用“等角定理”分别证明角的两条边分别平行，再结合图形得证.【规范解答】(1)连接BD、B1D1，∵E、F分别为AD、AB的中点，∴在△ABD中有EF∥BD，且∵E1、F1分别为B1C1、C1D1的中点，∴在△C1D1B1中有E1F1∥B1D1且而在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1DD1，∴四边形