高考总复习 立体几何与空间向量 第7节 立体几何中的向量方法(一)―证明平行与垂直ppt课件.ppt

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1、第7节　立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直最新考纲1.理解直线的方向向量及平面的法向量；2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.1.直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l_______________，则称此向量a为直线l的方向向量.(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量.知识梳理平行或重合2.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥

2、l2n1⊥n2⇔______________直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔____________l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔____________n1·n2＝0n·m＝0n·m＝0[常用结论与微点提醒]1.用向量知识证明立体几何问题，仍离不开立体几何中的定理.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.2.用向量证明立体几何问题，写准点的坐标是关键，要充分利用中点、向量共线、向量相等来确定点的坐标.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)直线的方向向量是唯一确定的.()

3、(2)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.()(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行.()(4)若直线a的方向向量与平面α的法向量垂直，则a∥α.()解析(1)直线的方向向量不是唯一的，有无数多个；(2)a⊥α；(3)两平面平行或重合；(4)a∥α或a⊂α.答案(1)×(2)×(3)×(4)×诊断自测2.(选修2－1P104练习2改编)已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2，3，5)，n2＝(－3，1，－4)，则()A.α∥βB.α⊥βC.α，β相交但不垂直D.以上均不对解析∵n1≠λn2，且n1·n2＝2×(－3)＋3×1＋5×(－4)＝－23≠0，∴α，β相交但不垂直.答

4、案C3.若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，0，－4)，则()A.l∥αB.l⊥αC.l⊂αD.l与α斜交解析∵a＝(1，0，2)，n＝(－2，0，－4)，∴n＝－2a，即a∥n.∴l⊥α.答案B答案C5.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________.答案垂直证明法一如图，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线分别为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O－xyz.法二在线段CD上取点F，使得DF＝3FC，连接OF，同法一建立空间直角坐标系

5、，写出点A，B，C的坐标，设点C坐标为(x0，y0，0).规律方法1.恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键.2.证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.【训练1】已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为AB，AD，AA1的中点，求证：平面EFG∥平面B1CD1.证明建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则A(1，0，0)，B(1，1，0

6、)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1).设n1＝(x1，y1，z1)为平面EFG的法向量，n2＝(x2，y2，z2)为平面B1CD1的一个法向量.令x1＝1，可得y1＝－1，z1＝－1，同理可得x2＝1，y2＝－1，z2＝－1.则n1＝(1，－1，－1)，n2＝(1，－1，－1).由n1＝n2，得平面EFG∥平面B1CD1.考点二　利用空间向量证明垂直问题【例2】如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.证明：(1)PA⊥BD；(2)平面P

7、AD⊥平面PAB.证明(1)取BC的中点O，连接PO，∵平面PBC⊥底面ABCD，BC为交线，PO⊂平面PBC，△PBC为等边三角形，即PO⊥BC，∴PO⊥底面ABCD.以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.又∵PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB，∴DM⊥平面PAB.∵DM⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.规律