2016高考理科数学专题突破三数列.docx

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1、2016高考理科数学专题突破三　高考中的数列问题考点自测1．公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn，且－3a1，－a2，a3成等差数列，若a1＝1，则S4等于(　　)A．－20B．0C．7D．40答案　A解析　设等比数列{an}的公比为q，其中q≠1，依题意有－2a2＝－3a1＋a3，－2a1q＝－3a1＋a1q2≠0.即q2＋2q－3＝0，(q＋3)(q－1)＝0，又q≠1，因此有q＝－3，S4＝＝－20，故选A.2．数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则a＋a＋a＋…＋a等于(　　)A．(3n－1)2

2、B.(9n－1)C．9n－1D.(3n－1)答案　B解析　a1＝2，a1＋a2＋…＋an＝3n－1，①n≥2时，a1＋a2＋…＋an－1＝3n－1－1，②①－②得an＝3n－1·2(n≥2)，n＝1时，a1＝2适合上式，∴an＝2·3n－1.∴a＋a＋…＋a＝＝＝(9n－1)．3．等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，S50＝0.设bn＝anan＋1an＋2(n∈N*)，则当数列{bn}的前n项和Tn取得最大值时，n的值是(　　)A．23B．25C．23或24D．23或25答案　D解析　因为S50＝(a1＋a50)＝25(a25＋a26)＝

3、0，a1>0，所以a25>0，a26<0，所以b1，b2，…，b23>0，b24＝a24a25a26<0，b25＝a25a26a27>0，b26，b27，…<0，且b24＋b25＝0，所以当数列{bn}的前n项和Tn取得最大值时，n的值为23或25.4．已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*都有Sn＝an－，若11时，Sn－1＝an－1－，∴an＝an－an－1，∴an＝－2an－1，又a1＝－1，∴{an}为等比数列，且an＝－(－2)n－1，∴Sk＝，由1

4、9，得4<(－2)k<28，又k∈N*，∴k＝4.5．把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，…循环分为(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25)，…，则第50个括号内各数之和为________．答案　392解析　将三个括号作为一组，则由50＝16×3＋2，知第50个括号应为第17组的第二个括号，即第50个括号中应是两个数．又因为每组中含有6个数，所以第48个括号的最末一个数为数列{2n－1}的第16×6＝96项，第50个括号的第一个数应为数列

5、{2n－1}的第98项，即为2×98－1＝195，第二个数为2×99－1＝197，故第50个括号内各数之和为195＋197＝392.故填392.题型一　等差数列、等比数列的综合问题例1　设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列．(1)求数列{an}的通项；(2)令bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.解　(1)由已知得解得a2＝2.设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝，a3＝2q，又S3＝7，可知＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2

6、＝0.解得q1＝2，q2＝.∵q>1，∴q＝2，∴a1＝1.故数列{an}的通项为an＝2n－1.(2)由于bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，由(1)得a3n＋1＝23n，∴bn＝ln23n＝3nln2.又bn＋1－bn＝3ln2，∴{bn}是等差数列，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝·ln2.故Tn＝ln2.思维升华　(1)正确区分等差数列和等比数列，其中公比等于1的等比数列也是等差数列．(2)等差数列和等比数列可以相互转化，若数列{bn}是一个公差为d的等差数列，则{abn}(a>0，a≠1)就是一个等比数列，其公比q＝ad；反之，若数列{

7、bn}是一个公比为q(q>0)的正项等比数列，则{logabn}(a>0，a≠1)就是一个等差数列，其公差d＝logaq.　已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项．(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)设数列{cn}对n∈N*均有＋＋…＋＝an＋1成立，求c1＋c2＋c3＋…＋c2013.解　(1)由已知有a2＝1＋d，a5＝1＋4d，a14＝1＋13d，∴(1＋4d)2＝(1＋d)(1＋13d)，解得d＝2(因为d>0).∴an＝1＋(n－1)·2＝2n－

8、1.又b2＝a2＝3，b3＝a5＝9，∴数列{bn}的公比为3，∴bn＝3·3n－2＝3n－1.(2)由＋＋…＋＝an＋1