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1、第七章图论7.1图的基本概念7.2路与图的连通性7.3图的矩阵表示7.4欧拉图与哈密尔顿图7.5平面图7.6树与生成树7.7根树及其应用7.1图的基本概念7.1.1图的基本概念7.1.2图的结点的度数及其计算7.1.3子图和图的同构图7.1.1哥尼斯堡七桥问题7.1图的基本概念图7.1.27.1.1图现实世界中许多现象能用某种图形表示,这种图形是由一些点和一些连接两点间的连线所组成。【例7.1.1】a，b，c，d4个篮球队进行友谊比赛。为了表示４个队之间比赛的情况，我们作出图7.1.1的图形。在图中４个小圆圈分别表示这４个篮球
2、队，称之为结点。如果两队进行过比赛，则在表示该队的两个结点之间用一条线连接起来，称之为边。这样利用一个图形使各队之间的比赛情况一目了然。1.图的定义图7.1.3如果图7.1.3中的４个结点a，b，c，d分别表示４个人，当某两个人互相认识时，则将其对应点之间用边连接起来。这时的图又反映了这４个人之间的认识关系。我们也可以点代表工厂,以连接两点的连线表示这两工厂间有业务往来关系。这样便可用图形表示某一城市中各工厂间的业务往来关系。这种用图形来表示事物之间的某种关系的方法我们也曾经在第三章中使用过。对于这种图形,我们的兴趣在于有多少
3、个点和哪些点对间有线连接,至于连线的长短曲直和点的位置都无关紧要。对它们进行数学抽象我们就得到以下作为数学概念的图的定义。定义7.1.1一个图G是一个序偶〈V(G),E(G)〉，记为G＝〈V(G),E(G)〉。其中V(G)是非空结点集合，E(G)是边集合，对E(G)中的每条边，有V(G)中的结点的有序偶或无序偶与之对应。若边e所对应的结点对是有序偶〈a,b〉,则称e是有向边。a叫边e的始点,b叫边e的终点,统称为e的端点。若边e所对应的结点对是无序偶(a,b),则称e是无向边。这时统称e与两个结点a和b互相关联。【例7.1.2
4、】设G=〈V(G),E(G)〉,其中V(G)={a,b,c,d},E(G)={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7},e1=(a,b),e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(b,c),e5=(d,c),e6=(a,d),e7=(b,b)。 则图G可用图7.1.4(a)或(b)表示。我们将结点a、b的无序结点对记为(a，b），有序结点对记为〈a，b〉。一个图G可用一个图形来表示且表示是不唯一的。图7.1.42.图G的结点与边之间的关系邻接点:同一条边的两个端点。孤立点:没有边与之关联的结点。邻接边:关联同一个结点的两条
5、边。孤立边:不与任何边相邻接的边。自回路（环）：关联同一个结点的一条边（（v，v）或〈v，v〉）。平行边(多重边):关联同一对结点的多条边。如例7.1.1中的图，结点集V＝｛a，b，c，d｝，边集E＝｛e1，e2，e3，e4，e5｝，其中e1＝（a，b），e2＝（a,c），e3＝（a，d），e4＝（b,c），e5＝（c,d）。d与a、d与c是邻接的，但d与b不邻接，边e3与e5是邻接的。【例7.1.3】设图G＝〈V,E〉如图7.1.5所示。这里V＝｛v1，v2，v3｝，E＝｛e1，e2，e3，e4，e5｝，其中e1=(v1,v
6、2)，e2=(v1，v3)，e3=(v3,v3),e4=(v2,v3),e5=(v2，v3)。在这个图中，e3是关联同一个结点的一条边,即自回路；边e4和e5都与结点v2、v3关联，即它们是多重边。图7.1.53.图G的分类按G的结点个数和边数分为(n,m)图,即n个结点,m条边的图;特别地,(n,0)称为零图,(1,0)图称为平凡图。(2)按G中关联于同一对结点的边数分为多重图和简单图;多重图:含有平行边的图（如图7.1.5）。简单图:不含平行边和自环的图。(3)按G的边有序、无序分为有向图、无向图和混合图;有向图：每条边都
7、是有向边的图称为有向图（图7.1.6)；无向图：每条边都是无向边的图称为无向图；混合图：既有无向边,又有有向边的图称为混合图。本书主要研究无向图和有向图。(4)按G的边旁有无数量特征分为边权图(赋权图)(如图7.1.7)、无权图;图7.1.7(5)以结点v为端点的边的条数，称为该结点的度，记为deg（v）。正则图：各结点的度数相同；各结点的度数均为K，称为K次正则图。(6)按G的任意两个结点间是否有边分为完全图Kn和不完全图。完全图：任意两个不同的结点都邻接的简单图称为完全图。n个结点的无向完全图记为Kn。有向图中，每个点都与
8、其余n-1个点之间有两条方向相反的边，称为n阶有向完全图。容易证明Kn有条边。有向完全图有条边。n(n-1)4.补图给定任意一个含有n个结点的图G,总可以把它补成一个具有同样结点的完全图,方法是把那些缺少的边添上。定义7.1.2设G＝〈V,E〉是一个具有n个结点的简单图。以V
