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1、§2闭区间上连续函数的性质实数完备性理论的一个重要作用就是证一、最大、最小值定理经在第四章给出过.明闭区间上连续函数的性质，这些性质曾三、一致连续性定理二、介值性定理返回首先来看一个常用的定理.有界性定理若f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)证用两种方法给出证明.第一种方法使用有限覆盖定理.因为f(x)在[a,b]一、最大、最小值定理局部有界的性质化为整体有界性质.上每一点连续,从而局部有界.我们的任务就是将H覆盖了闭区间[a,b].由有限覆盖定理,在H中存显然在有限个开区间第二种证法采
2、用致密性定理.因为{xn}有界,从而存在一个收敛的子列.为了书写方便,不妨假设{xn}自身收敛,令设f(x)在[a,b]上无界,不妨设f(x)无上界.则存在故由归结原理可得矛盾.最大、最小值定理(定理4.6)若函数f(x)在[a,b]证f(x)在[a,b]上连续,因而有界.由确界定理,f(x)在[a,b]上的值域有上确界.设上连续,则f(x)在[a,b]上取最大、最小值.在[a,b]上连续,从而有界,故存在G>0,使这样就有这与M是f(x)在[a,b]上的上确界矛盾.这就证明了上确界M与下确界m
3、都是可取到的,同理可证:下确界也属于f([a,b]).最小值.这也就是说,M与m是f(x)在[a,b]上的最大、(定理4.7)设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且证在第四章中,我们已经用确界定理证明此定理.现在用区间套定理来证明.二、介值性定理f(a)f(b).将[a,b]等分成两个区间[a,c],[c,b],若F(c)=0,下去,得到一列闭子区间个区间的端点上的值异号.将这个过程无限进行F(c1)=0,已证.不然同样可知函数F(x)在其中一将[a1,b1]等分成两个区间[a1,c1],
4、[c1,b1],若间端点上的值异号,将这个区间记为[a1,b1].再已证.不然,函数F(x)在这两个区间中有一个区由区间套定理,存在惟一的{[an,bn]},满足:(定理4.9)若函数f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在证(证法一)首先用致密性定理来证明该定理.在设f(x)在[a,b]上不一致连续,即存在三、一致连续性定理[a,b]上一致连续.究.下述证明过程中,选子列的方法值得大家仔细探现分别取……因为{x'n}有界,从而由致密性定理,存在{x'n}的因为所以由极限的不等式性质连续,所以由
5、归结原理得到矛盾.(证法二)再用有限覆盖定理来证明.以及f考虑开区间集那么H是[a,b]的一个开覆盖.由有限覆盖定理,因f(x)在[a,b]上连续,对任意一点存在有限个开区间对于任何那么必属于上述n个小区间中的一个,也覆盖了[a,b].所以由小区间的定义得知这就证明了在[a,b]上的一致连续性.
