线性算子的谱理论.docx

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1、线性算子的谱理论谱理论的重要性1、考虑线性常微分方程组：xc(t)Ax(t)。一方面，求方程的解只需要求出矩阵A的特征值即得解为x(t)=eAtx0；另一方面，解的稳定性等价于矩阵A的特征值实部为负。2、特征子空间是不变子空间，在更小的空间讨论算子的性质往往要方便些……空间：有限维→无限维变换：矩阵→有界或无界线性(闭)算子特征值→谱定义：设X为Banach空间，A为X上的(闭)线性算子。若(OI-A)-1±L(X)，则称¾O为A的正则点；¾正则集或预解集：U(A)={正则点}；¾预解算子：R(O，A)=(OI-A)-1；¾谱集：

2、V(A)=KU(A)有限维情形(OI-A)-1±L(Cn)xOI-A为双射xOI-A为满射xOI-A为单射x(OI-A)x=0只有0解。即：O±V(A)x(OI-A)x=0有非0解xO为矩阵A的特征值。有限维情形关键：单射x满射。原因：Rank(OI-A)+dimKer(OI-A)=n(1)因此，OI-A为单射x(OI-A)x=0只有0解xRank(OI-A)=nx矩阵OI-A可逆xOI-A为双射xOI-A为满射。无限维情形关键：此时，(1)不再成立。因此，单射和满射之间不再具有等价关系。依照映射OI–A的性质，有如下分类¾单、

3、满，则(OI-A)-1±L(X)，预解集U(A)；¾不单，(OI-A)x=0有非0解，点谱Vp(A)¾单，R(OIA)zR(OIA)X，连续谱Vc(A)¾单，R(OIA)zX，剩余谱Vr(A)。无限维情形例1、设X=BUC(R，C)，即全体从R到C的有界一致连续函数按照上确界范数构成的Banach空间。设A为微分算子，即A:x(t)oxc(t)，则A为闭算子，且V(A)=Vp(A)=iR。目标分三部分：9证明对任何b±R，ib±Vp(A)；9证明若a≠0，则a+ib±U(A)；9证明A为闭算子。(1)ib±Vp(A)，即方程(ib

4、-A)x=0有非0解，令(直接解微分方程)x(t)=eibt，则(Ax)(t)=ibeibt=ibx(t)，即Ax=ibx，ib为点谱，x为对应特征向量。(2)证明若a≠0，则O=a+ib±U(A)。设a>0，对x±X，证明y±X，使得(OI-A)y=x，即如下常微分方程在X中有解Oy(t)yc(t)x(t)。利用一阶线性常微分方程的常数变异公式y(t)y(s)eO(ts)³steO(tW)x(W)dW若y(t)有界，令s+，则y(t)³fteO(tW)x(W)dW³feOWx(tW)dW0(2)由于a>0，可知积分y(t)收敛，

5、并且

6、y(t)

7、≤a-1

8、

9、x

10、

11、，t±R。由x一致连续，知y一致连续。从而，y±X。因此，(OI-A)y=x有解，即O±U(A)。并且有

12、

13、(OI-A)-1

14、

15、≤a-1。若a<0，在y(t)y(s)eO(ts)³steO(tW)x(W)dW令s-，类似地讨论y(t)³fteO(tW)x(W)dW³f0eOWx(tW)dW(3)命题：设A为Banach空间X上的线性算子，满足U(A)非空，则A为闭算子。证明：设xn→x，Axn=yn→y。目标：Ax=y。设O±U(A)，则Oxn–Axn→Ox–ywxn→(OI–A)-1(Ox–y)

16、wx=(OI–A)-1(Ox–y)wOx–Ax=Ox–ywAx=y。例2、设X=l2。¾设A为右移位算子，则0±Vr(A)；¾设B为左移位算子，则0±Vp(B)。证明：(1)令M=span{e1}，e1=(1，0，)则R(A)=MA。因此，0±Vr(A)；(2)Ker(B)=M，可知0±Vp(B)，M中的非0向量为对应的特征向量。例3、设X=C[0，1]，定义X上的线性算子A：u(t)→tu(t)。讨论A的谱集。解：A是有界线性算子，由无限维情形的分类可知只需要讨论(1)OI–A是否为单射；以及(2)OI–A的值域与X的关系。例3

17、、设X=C[0，1]，定义X上的线性算子A：u(t)→tu(t)。讨论A的谱集。解：(1)考虑方程Ou(t)–tu(t)=0，t±[0，1]，利用u的连续性以及函数f(t)=O–t最多只有一个零点可知上述方程只有0解，即OI-A为单射。由此可知点谱为空集。例3、设X=C[0，1]，定义X上的线性算子A：u(t)→tu(t)。讨论A的谱集。解：(2)任取v(t)±X，考虑方程Ou(t)–tu(t)=v(t)，t±[0，1]。(2)当O>1或者O<0时，h(t)=(O-t)-1±X。因此，方程(2)有解u(t)=h(t

18、)v(t)。此时，R(OI–A)=X，而在(1)中已经证明了OI–A是单射，因此O±U(A)。例3、设X=C[0，1]，定义X上的线性算子A：u(t)→tu(t)。讨论A的谱集。解：(2)任取v(t)±X，考虑方程Ou(t)–tu(t)=v(t)，