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1、第三章多元正态总体参数的假设检验§3.2单总体均值向量的检验2.当Σ未知时均值向量的检验当p=1时(一元统计)，取检验统计量为或等价地取检验统计量1第三章多元正态总体参数的假设检验§3.2单总体均值向量的检验推广到多元,考虑统计量因离差阵2第三章多元正态总体参数的假设检验§3.2单总体均值向量的检验由定义3.1.5可知利用T2与F分布的关系，检验统计量取为3第三章多元正态总体参数的假设检验§3.2单总体均值向量的检验—例3.2.1例3.2.1人的出汗多少与人体内钠和钾的含量有一定的关系.今测量了20名健康成年女性的出汗量(X1)、钠的含量(X2)和钾的含量(X3)
2、(数据见表3.1).试检验H0:μ=μ0=(4,50,10)′，H1:μ≠μ0.4第三章多元正态总体参数的假设检验§3.2单总体均值向量的检验—例3.2.1解记随机向量X=(X1,X2,X3)′,假定X～N3(μ,Σ).检验H0:μ＝μ0，H1：μ≠μ0.取检验统计量为由样本值计算得:5第三章多元正态总体参数的假设检验§3.2单总体均值向量的检验—例3.2.16第三章多元正态总体参数的假设检验§3.2单总体均值向量的检验—例3.2.1对给定α=0.05,按传统的检验方法,可查F分布临界值表得λα=F3,17(0.05)=3.2,比较由样本值计算得到的F值及临界值,
3、因F值=2.9045＜3.2,故H0相容.利用统计软件进行检验时,首先计算p值(此时检验统计量F～F(3,17))：p=P{F≥2.9045}=0.06493.因p值=0.06493＞0.05=α,故H0相容.在这种情况下，可能犯第二类错误,且第二类错误的概率为β=P{F≤3.2
4、μ=X}=0.3616(假定总体均值μ=μ1≠μ0,取μ1=X).7第三章多元正态总体参数的假设检验§3.2单总体均值向量的检验--似然比统计量在数理统计中关于总体参数的假设检验,通常是利用最大似然原理导出似然比统计量进行检验.在多元统计分析中几乎所有重要的检验都是利用最大似然原理给出的
5、.下面我们回顾下最大似然比原理.作出判断,这就是假设检验问题.称H0为原假设(或零假设)，H1为对立假设(或备择假设).设p维总体的密度函数为f(x,θ),其中θ是未知参数，且θ∈Θ(参数空间)，又设Θ0是Θ的子集,我们希望对下列假设：8第三章多元正态总体参数的假设检验§3.2单总体均值向量的检验--似然比统计量从总体X抽取容量为n的样本X(t)(t=1,…,n).把样本的联合密度函数记为L(X;θ),并称它为样本的似然函数.引入统计量9第三章多元正态总体参数的假设检验§3.2单总体均值向量的检验--似然比统计量λ是样本X(t)(t=1,…,n)的函数,常称λ为似
6、然比统计量.由于Θ0是Θ的子集,即分子≤分母,从而0≤λ≤1.直观考虑,若H0成立时,λ值应近似为1.如果λ取值太小(即分子＜＜分母),由最大似然原理,说明H0为真时观测到此样本X(t)(t=1,…,n)的概率比H0为不真时观测到此样本X(t)(t=1,…,n)的概率要小得多.故有理由认为假设H0不成立,所以从似然比统计量出发,以上检验问题的否定域为{λ(X(1),…,X(n))＜λα},10第三章多元正态总体参数的假设检验§3.2单总体均值向量的检验--似然比统计量按传统计的检验方法,λα是由显著性性水平α确定的临界值,它满足在H0成立时有：P{λ(X(1),…
7、,X(n))＜λα}=α.为了得到λα,必须研究似然比统计量λ的抽样分布.在一些特殊的情况下,λ的精确分布可以得到;但很多情况得不到λ的精确分布.11第三章多元正态总体参数的假设检验§3.2单总体均值向量的检验--似然比统计量当样本量很大且满足一定条件时,-2lnλ的抽样分布与χ2分布十分接近.下面不加证明地给出一条很有用的结论.近似服从自由度为f的χ2分布,其中f=Θ的维数-Θ0的维数.定理3.2.1当样本容量n很大时，12第三章多元正态总体参数的假设检验§3.2单总体均值向量的检验--似然比统计量我们来导出当Σ未知时检验均值向量μ=μ0的似然比统计量，并讨论它
8、的分布.在第二章§2.5中已经导出：以上比式的分母当μ=X,Σ=A/n时达最大值，且最大值为设样本的似然函数为L(μ,Σ).检验均值向量μ=μ0的似然比统计量为13第三章多元正态总体参数的假设检验§3.2单总体均值向量的检验--似然比统计量比式的分子当A0时达最大值，且最大值为故以下来推导似然比统计量λ与T2的关系：14第三章多元正态总体参数的假设检验§3.2单总体均值向量的检验--似然比统计量利用分块矩阵行列式的性质(见附录§4推论4.1)有:15第三章多元正态总体参数的假设检验§3.2单总体均值向量的检验--似然比统计量所以即16第三章多元正态总体参数的假设检
9、验§3.2
