第一类对面积的曲面积分ppt课件.ppt

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1、10.4第一类(对面积)的曲面积分surfaceintegral概念的引入对面积的曲面积分的定义对面积的曲面积分的计算法小结思考题作业第10章曲线积分与曲面积分1实例解第一步:将Σ分为许多极其微小的子域,以dS为代表,dS的质量为:第二步:求和取极限则取所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.它的面密度为连续函数求它的质量.一、概念的引入曲面构件质量若曲面Σ是光滑的,21.定义函数f(x,y,z)在Σ上意取定的点,并作和如果当各小块曲面的直径这和式的极限存在,

2、则的最大值(1)(2)(3)(4)二、对面积的曲面积分的定义第i小块曲面的面积),作乘积设曲面Σ是(ΔSi同时也表示有界.把Σ任意分成n小块ΔSi光滑的,定义10.33或记为即如曲面是曲面面积元素被积函数则积分号写成积分曲面极限为函数f(x,y,z)在对面积的曲面积分第一类曲面积分.闭曲面,曲面Σ上42.存在条件若Σ是分片光滑曲面,今后,假定f(x,y,z)在Σ上连续.则函数3.对面积的曲面积分的性质函数f(x,y,z)定理10.7在光滑曲面Σ上连续(或除有限条分段光滑曲线外,f(x,y,z)在Σ上连

3、续,且在Σ上有界),f(x,y,z)在Σ上的第一类(对面积)曲面积分存在.若Σ可分为分片光滑的曲面Σ1及Σ2,则54.对面积的曲面积分的几何意义空间曲面Σ的面积:5.对面积的曲面积分的物理意义面密度为连续函数的质量M为:其质心坐标为:6补充设分片光滑的x的奇函数,x的偶函数其中则曲面Σ关于yOz面对称,当f(x,y,z)为当f(x,y,z)为7练习研究生考题(选择题3分)限中的部分,则有Σ1为Σ在第一卦分析关于平面yOz与xOz对称,而(A)(B)(D)左端的被积函数或关于x是奇函数或关于y是奇函数.

4、故(A)(B)(D)左端的积分均为0,而右端的积分均大于0.因此(A)(B)(D)均不成立.反观(C),其左端的被积函数(x与y不出现)可看作x或y的偶函数,故有反观(C),其左端的被积函数(x与y不出现)可看作x或y的偶函数,故有有轮换对称性,故从而选(C).8则按照曲面的不同情况分为以下四种:思想是:化为二重积分计算.(1)三、对面积的曲面积分的计算法曲面的面积元素曲面Σ选好投影面算出曲面面积元素将曲面方程代入被积函数若曲面Σ:9则则(2)(3)若曲面Σ:若曲面Σ:10(4)则若曲面Σ:11确定投

5、影域并写出然后算出曲面面积元素;最后将曲面方程代入被积函数,对面积的曲面积分时,首先应根据化为二曲面Σ选好投影面,曲面Σ的方程,重积分进行计算.12例解投影域:所截得的部分.故二重积分的对称性对称性13计算曲面积分其中Σ是球面解Σ的方程方程是:方程是:投影域Σ记上半球面为Σ1,下半球面为Σ2,不是单值的.的值.练习14对上半球面得对下半球面Σ是球面15所以极坐标16解依对称性知例抛物面有?被积函数Σ1为第一卦限部分曲面.关于xOz面、yOz面均对称;关于y、x为偶函数.17极坐标投影域：积分曲面18例

6、解积分曲面方程中的变量x、y、z具有轮换对称提示即三个变量轮换位置方程不变.轮换对称性,19例所围成的空间立体的表面.20解投影域例所围成的空间立体的表面.对称性21(左右两片投影相同)将投影域选在注分成左、右两片对称性所以xOz面上22计算其中Σ为球面之位于平面曲面Σ的方程Σ在xOy面上的投影域Σ解练习上方的部分.23Σ于是x3是x的奇函数,x2y是y的奇函数.因曲面Σ关于yOz面及xOz面对称;24研究生考题,计算,6分解积分曲面Σ在xOy面上的投影域:练习25积分曲面极坐标26对面积的曲面积分的

7、计算对面积的曲面积分的概念四、小结四步:分割、取近似、求和、取极限思想:化为二重积分计算;对面积的曲面积分的几何意义与物理意义曲面方程四种形式的计算公式27思考题定积分、二重积分、三重积分、对弧长的是非题是因为若Ω为直线上的区间[a,b],则故曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为28思考题定积分、二重积分、三重积分、对弧长的是非题是若Ω是平面区域G,则故曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为29思考题定积分、二重积分、三重积分、对弧长的是非题是若Ω是空间区域,则故曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示

8、为30思考题定积分、二重积分、三重积分、对弧长的是非题是若Ω为平面(空间)曲线L,则部分和式的极限为曲线积分曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为31思考题定积分、二重积分、三重积分、对弧长的是非题是若Ω为曲面Σ,则上述部分和式的极限就是曲面积分曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为32作业习题10.4(444页)33