第18讲函数的微分ppt课件.ppt

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1、高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学大学数学（一）第十八讲函数的微分脚本编写、教案制作：刘楚中彭亚新邓爱珍刘开宇孟益民第四章一元函数的导数与微分本章学习要求：理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可导、可微、连续之间的关系。熟悉一阶微分形式不变性。熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微分。了解n阶导数的概念，会求常见函数的n阶导数。熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方程求解、不

2、等式的证明等）。掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。第四节函数的微分第四章一元函数的导数与微分一.函数的微分三.二阶微分微分的运算法则四.微分在近似计算中的应用五.微分在误差估计中的应用若y=f(x)在点x0处有(有限)导数,则现在反过来想一想：若在x0点处y=f(x)的增量y可以表示为一个线性函数与一个高级无穷小量之和的形式回忆复合函数求导法则中的一个定理那么,我们自然要问A=?就是说,在点x0处若可用关于自变量的增量x的线性函数逼近函数的增量y时,其关系式一定是y=f(x0)x+o(x)我们称f(x0)x(或Ax)为函数在点x0处增量的线性主

3、部,通常将它记为dy=f(x0)x(dy=Ax).微分一.函数的微分将以上的讨论归纳一下,可得出什么结论?1.微分的概念y=Ax+o(x)此时,称f(x)在点x0处可微。设y=f(x)在U(x0)有定义,给x0以增量x,且x0+xU(x0)。如果函数相应的增量可表示为则称y的线性主部为f(x)在点x0处的微分,记为dy=Ax,其中,A叫微分系数。2.可微与可导的关系定理y=f(x0)x+o(x)dy=f(x0)x也就是说,f(x)在点x0处的可微性与可导性是等价的,且f(x)在点x0处可微,则解什么意思？例1自变量的增量就是自变量的微分：函数的微

4、分可以写成:该例说明:此外,当x为自变量时,还可记即函数f(x)在点x处的导数等于函数的微分dy与自变量的微分dx的商,故导数也可称为微商.哈哈！除法,这一下复合函数、反函数、参数方程等的求导公式就好理解了.3.微分的几何意义yDyd几何上,函数y=f(x)在点x处的微分表示为:相应于自变量x的改变量x,曲线y=f(x)在点P(x,y)的切线上纵坐标的改变量.微分的运算法则1.微分的基本公式可微可导微分的基本公式与导数的基本公式相似微分公式一目了然,不必讲了.一阶微分形式不变性(复合函数微分法则)在点x0处可微.按微分的定义但故说明什么问题？我们发现y=f(u),当u为中间

5、变量时的微分形式与u为自变量时的微分的形式相同,均为dy=f(u)du,这种性质称为函数的一阶微分形式不变性.解故例2由一阶微分形式不变性,再来看复合函数、反函数、参数方程等的求导公式就会有另一种感觉：例3解例4三.二阶微分其二阶微分为设函数y=f(x)二阶可导,当x为自变量时,由此看出,当x为自变量时,除法类似可定义n阶微分:注意这里x是自变量具有这种不变性？看一下二阶微分的情形：性,且可构成复合函数y=f((t)),则设函数y=f(x),x=(t)都具有相应的可微就是说,二阶微分不具备微分形式不变性.高阶微分不具备微分形式不变性.三.微分在近似计算中的应用函数增量的近似

6、值：函数值的近似值：将半径为R的球加热.如果球的半径估计球的体积的增量.伸长解则由所以,球的体积增量大约为例5得解例6四.微分在误差估计中的应用设某个量的精确值为A,它的近似值为a,为a的相对误差.A为测量A的绝对误差限,简称A的绝对误差.为测量A的相对误差限,简称A的相对误差.则称:

7、Aa

8、为a的绝对误差;则称:设测得圆钢截面的直径D=60.03mm,测量D的绝对误差限D＝0.05mm,试估计计算圆钢的截面积时的面积误差解设测量值为D,精确值为则由于D的绝对误差限D＝0.05mm,所以例7而因此,A的绝对误差限约为A的相对误差限约为已知测量x的绝对误差限为x,y的绝对

9、误差:y的绝对误差限约为y的相对误差限约为即有若根据直接测量的x值计算y值,谢谢观看！