线性系统的可控性与可观测性ppt课件.ppt

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1、9.2线性系统的可控性与可观测性在线性系统的定性分析中，一个很重要的内容是关于系统的可控性、可观测性分析。系统的可控、可观测性是由卡尔曼于60年代首先提出的，事后证明这是系统的两个基本结构属性。1一．可控性与可观测性的物理概念系统的可控性和可观性，就是指系统内的所有状态是否可以由输入影响和是否可由输出反映。如果系统内部的所有状态的运动都可由输入来影响和控制而由任意的初始状态达到原点，则称系统是可控的，或者更确切的说是状态可控的，否则就称系统为不完全可控的，或简称为系统不可控。如果系统内部所有状态变量的任意形式的运动均可由输出完全反映，

2、则称系统是状态可观测的，否则就称系统为不完全可观测的，或简称为系统不可观测。2例9-9：给定系统的状态空间描述为结构图表明：通过控制量u可以控制状态x1和x2，所以系统完全能控；但输出y只能反映状态变量x2，不能反映状态变量x1，所以系统不完全能观测。图1系统结构图39.2.1．可控性定义1．状态可控考虑n维线性时变系统的状态方程如果对取定初始时刻的一个非零初始状态x(t0)=x0，存在一个时刻和一个无约束的容许控制u(t)，，使状态由x(t0)=x0转移到t1时的x(t1)=0，则称此x0是在时刻t0可控的.42．系统可控如果状态空

3、间中的所有非零状态都是在t0（）时刻可控的，则称系统在时刻t0是完全可控的，简称系统在时刻t0可控。若系统在所有时刻都是可控的，则称系统是一致可控的。考虑n维线性时变系统的状态方程53．系统不完全可控对于线性时变系统取定初始时刻，如果状态空间中存在一个或一些非零状态在时刻t0是不可控的，则称系统在时刻t0是不完全可控的，也称为系统是不可控的。64．状态可达与系统可达对于线性时变系统若存在能将状态x(t0)=0转移到x(tf)=xf的控制作用，则称状态xf是t0时刻可达的。若xf对所有时刻都是可达的，则称状态xf为完全可达到或一致可达。

4、若系统对于状态空间中的每一个状态都是时刻t0可达的，则称该系统是t0时刻完全可达的，或简称系统是t0时刻可达的。79.2.2．可观测性定义1．系统完全可观测对于线性时变系统,零输入时如果取定初始时刻，存在一个有限时刻,对于所有，系统的输出y(t)能唯一确定状态向量的初值x(t0)，则称系统在[t0,t1]内是完全可观测的，简称可观测。如果对于一切t1>t0系统都是可观测的，则称系统在[t0,∞)内是完全可观测的。82．系统不可观测对于线性时变系统如果取定初始时刻，存在一个有限时刻,对于所有，系统的输出y(t)不能唯一确定所有状态的初值

5、xi(t0)，i=0,1,…,n，即至少有一个状态的初值不能被y(t)确定，则称系统在[t0,t1]内是不完全可观测的，简称不可观测。99.2.3线性定常连续系统的可控性判据(※)一、线性定常连续系统的可控性判据（※）1．格拉姆矩阵判据线性定常系统完全可控的充分必要条件是：存在一个有限时刻t1>0，使如下定义的格拉姆矩阵：为非奇异。若n阶矩阵A的行列式不为零，即

6、A

7、≠0，则称A为非奇异矩阵，否则称A为奇异矩阵。101）凯莱-哈密顿定理：设n阶矩阵A的特征多项式为则矩阵A满足其特征方程，即2）推论1：矩阵A的k(k≥n)次幂可表示为A

8、的(n-1)阶多项式注：此推论可用以简化矩阵幂的计算。秩判据基础113）推论2：矩阵指数函数可表示为A的(n-1)阶多项式453页例9-11：已知，计算A100=?解：A的特征多项式为：由凯莱-哈密顿定理，得到12故根据数学归纳法有所以：132。秩判据（※）线性定常系统完全可控的充分必要条件是其中:n为矩阵A的维数，称为系统的可控性判别阵。注：秩判据是一种比较方便的判别方法。14例6：已知判断其能控性。解：系统阶次，确定出可控判别阵，所以系统为完全可控。15例7：判断下列系统的可控性解：矩阵S的第二行与第三行线性相关，故rankS=2

9、＜3，系统不可控。163．PBH秩判据（※）线性定常系统完全可控的充分必要条件是：对矩阵A的所有特征值，均成立，或等价地表示为注：当系统矩阵A的维数较高时，应用秩判据可能不太方便，此时可考虑用PBH判据试一下。17初等变换求矩阵的秩把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.解18192021由阶梯形矩阵有三个非零行可知22利用行列式性质得到某行（列）仅有一个非零元素再进行展开。行列式求解方法23454页例9-12：已知线性定常系统状态方程为判断系统的可控性。解：根据状态方程可写出24特征方程：解得A

10、的特征值为：1）当时，有252）当时，有3）当时，有所以系统是完全可控的。26三、输出可控性1．输出可控性定义若在有限时间间隔[t0,t1]内，存在无约束分段连续控制函数u(t)，，能使任意初始输出y(t0)转移到任意最