优化设计第八次课ppt课件.ppt

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1、第五章约束优化方法第三节复合形法复合形法是约束优化设计问题的另外一种重要的直接解法，它来源于用于求解无约束优化设计问题的单纯形法，实际上是单纯形法在约束优化设计问题中的发展。由于复合形法的形状不必保持规则的图形，在迭代过程中也不必计算目标函数的一、二阶导数，同时无需进行一维搜索，因此，对目标函数和约束函数的性态无特殊要求，程序较简单。所以，该方法的适应性强，在机械优化设计中得到广泛应用，但随着设计变量和约束条件的增多，其计算效率显著降低。一、复合形法的基本思想复合形法的基本思想如下图所示，在可行域内构造一个具有个顶点的初始

2、复合形，对初始复合形各顶点的目标函数值进行比较，去掉目标函数值最大的顶点(称最差点)，然后按一定的法则求出目标函数值有所下降的可行的新点，并用此点代替最差点，构成新的复合形，复合形的形状每改变一次，就向最优点移动一步，直至逼近最优点。二、初始复合形的建立复合形是由个顶点组成的一个多面体，每个顶点都必须满足所有的约束条件，例如当时，即在可行域内构成一个三角形或四边形，如下图所示。生成初始复合形的方法有以下几种。(1)由设计者试选个可行点，构成初始复合形。当设计变量较多或约束函数较复杂时，由设计者决定个可行点常常很困难。只有在

3、设计变量少，约束函数较简单的情况下，这种方法才被使用。(2)由设计者在可行城内先选定复合形的一个初始顶点，其余的个顶点用随机方法产生，即——(0，1)区间内均匀分布的伪随机数。式中——复合形顶点的标号；——设计变量的标号，表示点的坐标分量；、——第个设计变量的下限值和上限值；这样产生的个顶点虽然能满足设计变量的边界约束条件，但不一定就能满足性能约束条件，因此，就要设法将非可行点移到可行域内。具体采用的方法是，首先求出已经在可行域内的P个顶点的形心点，即后将非可行点向中心点移动，即只要形心点为可行点，且系数选择得当(一般取)

4、，总可以使新点满足全部约束条件，即满足事实上，只要可行域为凸集，其中心点必为可行点．用此方法可以成功地在可行城内构成初始复合形。如果可行域为非凸集，如下图所示，中心点不一定在可行域之内，则此方法可能失败，这时可以通过改变设计变量的下限值和上限值，重新产生各项点。经过多次试算，有可能在可行域内生成初始复合形。通过对随机产生的各个顶点进行这种处理后，最后可取得个初始可行顶点，从而构成初始复合形。(3)由计算机自动生成初始复合形的全部顶点。其方法是首先随机产生一个可行点，然后按上述第二种方法产生其余个可行点。这种方法对设计者来说

5、最为简单，但因初始复合形在可行域内的位置不能控制，可能会给以后的计算带来困难。三、复合形法的寻优过程现以二维约束优化问题为例来说明复合形法的寻优过程。如下图所示，取二维问题的复合形为三角形，计算其三个顶点的目标函数值并进行比较，则可确定目标函数值最大的点(最差点)，目标函数值次大的点(次差点)和目标函数值最小的点(最好点)，并大致判断目标函数值的变化趋势。若为除去以外个顶点的中心点，在下图中是和连线的中心，则通常是由最差点指向中心点的方向，为目标函数值下降的方向。故在和连线的延长线上取一点，这一步称为反射，称为最差点的反射

6、点，即式中——反射系数，一般取，可取。检查反射点是否为可行点，若在可行城内，且时，则用反射点替换最差点，并组成新的复合形，完成一次迭代；否则，如果或不在可行域内，则将反射系数减半甚至减至很小，一旦成为可行点，并且满足时，就用反射点替换最差点构成新的复合形，完成一次迭代。综上所述，反射成功的条件为但当反射系数减至很小(例如，当)时，仍达不到上式的要求，则可用次差点代替进行反射，组成新的迭代过程。基本的复合形法(只含反射)的计算步骤如下。四、复合形法的计算步骤(1)选择复合形的顶点个数，按所选生成初始复合形的方法构成具有个顶点

7、的初始复合形。(2)计算复合形个顶点的目标函数值，选出其中的最差点，即次差点，即最好点，即(3)计算除去最差点外其余个顶点的中心点，即检验中心点是否在可行域内。若在可行域内，则继续进行第(4)步；否则，转到第(5)步。(4)如果中心点在可行域内，则在和连线的延长线上取反射点，即一般取反射系数。若超出可行域，为非可行点，则将其退回，即将反射系数减半，令，重新计算反射点，直至反射点成为可行点为止，如下图所示。(5)如果中心点不在可行域内，则可行域可能是一个非凸集，如下图所示。按上式计算的反射点不可能是可行点，此时利用中心点和最

8、好点重新确定一个区间，在此区间内重新按所选生成初始复合形的方法构成具有个顶点的复合形。新的区间如下图中虚线所示，此时设计变量的下限值与上限值为：若，则取若，则取重新构成复合形后再重复第(2)、(3)步，直至成为可行点为止。(6)计算反射点的函数值。如果，则用反射点替换最差点，构成新的复合形，完成一次迭代