第1章线性空间与线性映射ppt课件.ppt

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1、第1章线性空间与线性映射本章将介绍两个内容，线性空间与线性映射，它们是矩阵分析中两个基本概念，同时也是重要的概念．线性空间是线性代数中向量空间概念的推广，而线性映射是研究线性空间之间关系的主要工具.线性映射又与矩阵相对应，因此研究线性映射的问题又可转化为研究矩阵的相关关系.1.1线性空间在线性代数中，我们把n元有序数组称为n维向量，并对n维向量引入了加法及数乘两种运算，且在这两种运算下满足八条基本的运算规律，称为n维向量空间．事实上，我们不难发现，还有许多集合，比如n阶方阵的全体，关于矩阵的加法及数乘两种运算，仍满足类似的八条运算规律．这里虽然研究的对象不同，定义的运算不

2、同，但它们有一个共同点，就是在非空集合与数域P上定义了两种运算，且这两种运算满足八条性质．将此抽象可给出线性空间的概念．1.1.1线性空间的概念下面看一些例子．注意在同一集合上，可以定义不同的线性运算，从而得到不同的线性空间．练习P2例1.1.10对于线性空间中零元素与负元素有如下性质．1.1.2线性空间的性质设V为数域P上的线性空间，，进一步可证明如下性质．1.1.3线性空间中向量的线性相关性一般地说，一向量组线性相关时，则其中至少有一个向量可由这组向量中其他向量线性表示，反之，如果这组向量具有这一性质，则这组向量必线性相关．不难推知，线性无关的向量组，其中任一向量都不

3、能由这组向量中其他向量线性表示.P4例题1.1.11例题1.1.12n维向量空间Rn及其子空间的基与维数的概念，可以推广到一般的线性空间中．1.2.1基与维数的概念若线性空间V中能求得任意个数的线性无关的向量，则称V为无限维的线性空间．本书主要讨论有限维线性空间．1.2线性空间的基与维数例1.2.3零空间的维数是零．P5例1.2.1例1.2.3（1）向量在给定基下的坐标1.2.2坐标的概念从上例可看出，一个向量的坐标依赖于基的选取，一个向量在不同基下的坐标一般是不相同的．（2）向量线性运算的坐标表示前面讲到，一个向量的坐标依赖于基的选取，对于线性空间的两个基来说，同一个向

4、量的坐标一般是不相同的．那么它们之间有怎样的关系呢?下面讨论这个问题（1）基变换、过渡矩阵的概念以下我们来讨论，一个向量关于不同的基的坐标的关系．1.2.3基变换与坐标变换（2）坐标变换公式1.2.4过渡矩阵的性质由此可见，我们所熟悉的矩阵乘法的定义正反映了这种线性代入过程．过渡矩阵反映了线性空间的不同的基之间的关系，这是一个很重要的概念，下面进一步讨论过渡矩阵的一些性质.前面我们讨论了线性空间的定义及其基、维数、坐标．本节将对线性空间的子空间做一些介绍．1.3.1线性子空间的概念定义1.3.1设W是线性空间V的一个非空子集合，如果W对于V中所定义的加法和数乘两种运算也构

5、成一个线性空间，则称W是V的线性子空间.根据上述定义，要验证线性空间V的非空子集合W是V的子空间，需验证W对于V中运算封闭且满足运算规律（3）、(4)即可．因为运算规律（1）、（2）、（5）、（6）、（7）、（8）显然是成立的，而由线性空间的性质可知，只要W对于V中运算封闭，运算规律（3）、(4)也就自然满足，故有下面定理.1.3　线性子空间定理1.3.1线性空间V的非空子集W构成V的子空间的充分必要条件是：W对于V中的线性运算封闭．根据上述定理，设V是线性空间，0为V的零元素，那么W={0}就是V的一个子空间．当然V也是V的子空间．P10例1.3.41.3.2子空间的交

6、与和前面给出了子空间的定义，并讨论了子空间的交与和，为了对子空间有进一步的了解，我们将深入讨论子空间的基和维数.1.3.3子空间的基和维数P11定理1.3.5以下我们将这一部分做一个小结．第四节线性映射（自学）主要内容：一、线性映射二、线性映射的矩阵表示三、线性映射的运算（*）四、不变子空间（*）一、线性映射（变换）的定义及性质则称T是从V到W的一个线性映射或线性算子。设V,W是数域F上的两个线性空间，T是从V到W的一个变换（或映射），如果对于当V=W时,T也称为V上的一个线性变换。例1恒等变换例20-变换线性变换举例：例3求导运算是多项式空间Cn[x]上的线性变换。例4

7、定义在闭区间[a,b]上的所有连续函数的集合C[a,b]是一个线性空间，则C[a,b]的积分运算是线性变换。线性映射（变换）有以下性质：（3）T将V中的线性相关向量组映射为W中的线性相关向量组，但把线性无关向量组不一定映射为W中的线性无关向量组；（4）设则并且线性变换的值域与核设T是n维线性空间V的一个线性变换，定义T的值域R(T)与核N(T)分别为设A是n阶矩阵，A的值域R(A)与核N(A)分别为--T的全体像组成的集合--零向量原像组成的集合实例求导运算T在多项式空间pn[x]上的值空间R(T)与核空间N(T)分别为R(T