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1、函数与方程一、要点梳理1．函数的零点(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使_f(x)＝0_成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)几个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与_x轴_有交点⇔函数y＝f(x)有__零点__．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有___f(a)·f(b)<0____，那么函数y＝f(x)在区间__(a，b)___内有零点，即存在c∈(a，b)，使得__f(c)＝0__，这个_c__也就是f(x)＝0的根．2
2、．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数2103.二分法对于在区间[a，b]上连续不断且____f(a)·f(b)<0____的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__一分为二___，使区间的两个端点逐步逼近_零点_，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．注：1．函数的零点不是点函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而
3、不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．2．零点存在性定理的条件是充分而不必要条件若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续不间断的，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使f(c)＝0，这个c就是方程f(x)＝0的根．这就是零点存在性定理．满足这些条件一定有零点，不满足这些条件也不能说就没有零点．如图，f(a)·f(b)>0，f(x)在区间(a，b)上照样存在零点，而且有两个．所以我们说零点存在性定理的条件是充分条件，但并不必要．二、基础检测1．
4、(课本改编题)设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间__(1.25,1.5)__．2．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是_－，－__．3．已知函数f(x)＝lnx－x＋2有一个零点所在的区间为(k，k＋1)(k∈N*)，则k的值为___3__．4．若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是_a>1___．5．已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0
5、,1)上有零点，则实数a的取值范围是_(－2,0)__.题型一 判断函数在给定区间上零点的存在性例1 判断下列函数在给定区间上是否存在零点．(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；(2)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．解：(1)∵f(1)＝12－3×1－18＝－20<0，f(8)＝82－3×8－18＝22>0，∴f(1)·f(8)<0，故f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零点．(2)设y＝log2(x＋2)，y＝x，在同一直角坐标系中画出它们的图像，从图像中可以看出当1≤x≤3时，两图像有一个交点，因此f(x)＝log2(x
6、＋2)－x，x∈[1,3]存在零点．(1)(2010·天津)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是( B ) A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)(2)设函数f(x)＝x－lnx(x>0)，则y＝f(x)( D )A．在区间，(1，e)内均有零点B．在区间，(1，e)内均无零点C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点题型二 函数零点个数的判断例2 若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3
7、x
8、的零点个数是
9、____4____．(2011·山东)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图像在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( B )A．6B．7C．8D．9题型三 二次函数的零点分布问题例3 已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围．解：(1)由条件，抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1,2)内，如图(1)所示，得⇒即m的
10、取值范围{
