微分算子法实用整理总结.docx

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1、.微分算子法微分算子法分类小结一、n阶微分方程1、二阶微分方程：d2y+p(x)dy+q(x)y=f(x)dx2dx2、n阶微分方程：y(n)+a1y(n-1)+a2y(n-2)+a3y(n-3)+...+any=f(x)二、微分算子法1、定义符号：d表示求导，如Dx3=3x2，Dny表示y对x=D，Ddx求导n次；1表示积分，如11x2,1DDx=2Dnx表示对x积分n次，不要常数。2、计算将n阶微分方程改写成下式：Dny+a1Dn-1y+a2Dn-2y+a3Dn-3y+...+an-1Dy+any=f(

2、x)即n1n-12n-23n-3n-1n（D+aD+aD+aD+...+aD+a）y=f(x)记F(D)=Dn+a1Dn-1+a2Dn-2+a3Dn-3+...+an-1D+an规定特解：y*=F(D)1f(x)13、的性质F(D)(1)性质一：F(D)1ekx=F(k)1ekx(F(k)不等于0）注：若k为特征方程的m重根时，有1/7.1ekxm1ekxm1kxF(D)=xF(m)(D)=xF(m)(k)e1ekxkx1(2)性质二：F(D)v(x)=eF(D+k)v(x)11(3)性质三：特解形如F(D

3、)sin(ax)和F(D)cos(ax)i.考察该式（该种形式万能解法）：1iaxF(D)e利用性质一和二解出结果，并取相应的虚部和实部作为原方程的特解注：欧拉公式eiax=cos(ax)+isin(ax)虚数i2=-111ii.若特解形如F(D2)sin(ax)和F(D2)cos(ax)，也可按以下方法考虑：若F(-a2)≠0，则1F(D2)1F(D2)sin(ax)=cos(ax)=1F(-a2)12F(-a)sin(ax)cos(ax)若F(-a2)=0，则按i.进行求解，或者设-a2为F(-a

4、2)的m重根，则1sin(ax)=xm1F(D2)F(m)(D2)sin(ax)2/7.1cos(ax)=xm1cos(ax)2)(m)2F(DF(D)(4)性质四（多项式）：1p1p-12p-2+...+bp-1x+bp）F(D)（x+bx+bxp1p-12p-2+...+bp-1x+bp）=Q(D)（x+bx+bx注：Q(D)为商式，按D的升幂排列，且D的最高次幂为p。(5)性质五（分解因式）:11f(x)=1f(x)=F1(D)?F2(D)f(x)F(D)F2(D)?F1(D)(6)性质六:1(f1(

5、x)+f2(x))=1f1(x)+1f2(x)F(D)F(D)F(D)三、例题练习例1.d2yx2+4y=edx则(D2+4)y=ex,特解y*=21ex=21ex=1ex(性质一)D+41+45例2、y(4)），则(D4）+y=2cos(3x+1)y=2cos(3x3/7.特解y*=412cos(3x）=21cos(3x）D+1D4+1=21cos(3x）=1cos(3x）(性质三)22(-3)+141d2y-4dxdy2x,则(D2-4D+4)y=x2e2x例3、dx2+4y=x2e特解y*1x22x=

6、2x1x2=2e2D-4D+4e（D+）2-22x1x2=1x4e2x=eD212（性质二）32xxdy-3ddxy2+3dydx-y=e例4、dx3,则(D3-3D2+3D-1)y=e特解y*=13ex=ex13?1（D）（D+）-11-1=ex1?13xD31=6xe(性质二）例5、d3y-y=sinx,则(D3-1)y=sinx,特解y*=1sinxdx3D3-1考察31eixD-113eix=1ix=-1eix=i-1ixDi3-1ei+12e-1i-1=2(cosx+isinx)11(cosx-s

7、inx)=-2(cosx+sinx)+i21(cosx-sinx)取虚部为特解y*=2(性质一、三)4/7.例6、d2y+1)y=cosx，特解y*=1cosxdx2+y=cosx，则(D22+1D考察21eixD+1D21+1eix=1(D-i)(D+i)eix=(12ieixixD-i)=e?=1ix(D-i)(D+i)e1?2i?(D+i-i)1iix11=-2xe=2xsinx-i2xcosx取实部为特解y*=1xsinx(性质一、二、三）2d4y-y=exx例7、4，则(D4-1)y=edx特解

8、y*=41ex=(D-1)(D12exD-1+1)(D+1)=1ex(D-1)(1+1)(12+1)=1?1?1ex=11exD-122D-141x11x=4eD+1-1?1=4xe（性质一、二、五）例8、d2ydx2+y=x2-x+2,则(D2+1)y=x2-x+25/7.特解y*=12(x2-x+2)D+1=(1-D2)(x2-x+2)=x2-x(性质四)例9、d2y+2dy+2y=x2e-x,则(D2+2D