证明数列是等差或等比数列的方法.pdf

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1、一、证明或判断数列为等差数列的方法1.定义法在数列an中，若anan1d（d为常数），则数列an为等差数列22例：已知正项数列an的前n项和为Sn，a1，且满足2Sn12Sn3an1（nN*）3证明：数列an是等差数列22证明：由2Sn12Sn3an1得2(Snan1)2Sn3an12整理得4Sn3an12an12则4Sn13an2an22两式相减得4a3a3a2a2ann1nn1n223a3a2a2an1nn1n因为an是正项数列，所以anan102所以3an1an2，即an1an322所以a是首项为，公差为的等差数列n332.等差中项法an

2、an22an1{an}是等差数列例：设数列an的前n项和为Sn，已知a11，a26，a311，且(5n8)Sn1(5n2)SnAnB，n1，2，3，，其中A、B为常数（1）求A与B的值（2）证明数列an是等差数列解：（1）因为a11，a26，a311，所以S11，S27，S318把n1，n2分别代入5n8Sn15n2SnAnB得3771AB2181272AB解得：A20，B8（2）由（1）知5n8Sn15n2Sn20n8整理得5nSn1Sn8Sn12Sn20n8供参考即5nan18Sn12Sn20n8①又5n1an28Sn22Sn120n18②

3、②-①得5n1an25nan18an22an120即5n3an25n2an120③又5n2an35n7an220④④-③得5n2an32an2an10所以an32an2an10所以an3an2an2an1a3a25，又a2a15所以数列an是首项为1，公差为5的等差数列3.看通项与前n项和法（注：这些结论适用于选择题填空题）（1）若数列通项an能表示成ananb（a，b为常数）的形式，则数列an是等差数列；2（2）若数列an的前n项和Sn能表示成Snanbn（a，b为常数）的形式，则数列an是等差数列2例：若Sn是数列an的前n项和，Snn，则

4、an是（）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，也是等比数列D.既不是等差数列，也不是等比数列解析：根据（2）知an等差数列，不是等比数列二、证明或判断数列为等比数列的方法1.定义法an在数列an中，若q（q为常数），则数列an为等比数列an11ann为偶数121例：设数列an的首项a1a，且an1，记bna2n1，414ann为奇数4n1,2,3⋯供参考（1）求a2，a3（2）判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论11111解：（1）a2a1a，a3a2a44228113113(2)a4a3a,a5a4a4

5、2824161111111所以b1a1a，b2a3a(a)444282411111b3a5a(a)4416441猜想bn是公比为的等比数列2证明如下：因为1111111111bn1a2(n1)1a2n1a2n(a2n1)(a2n1)bn442424424211所以{bn}是首项为a，公比为的等比数列．42例2：已知数列{an}的首项a15，前n项和为Sn，Sn12Snn5(nN)，证明数列{an1}是等比数列；*解：由已知Sn12Snn5(nN)可得n2时,Sn2Sn1n4两式相减得:Sn1Sn2(SnSn1)1，即an12an1，从而an11

6、2(an1)，当n1时，S22S115，所以a2a12a16，又a15，所以a211，从而a212(a11)．an11故总有an112(an1)，nN，又a15，a110，从而2．an1所以数列{an1}是等比数列．*例3：设数列an的前n项的和为Sn，且a11,Sn14an2,nN。（1）设bnan12an，求证：数列bn是等比数列；证明：（1）n2时供参考an1Sn1Sn4an4an1，an12an2an2an1，bn2bn1又b1a22a1S23a1a123bn是首项为3，公比为2的等比数列。例4：设数列an的首项a11，前n项和sn满足

7、关系3tsn2t3sn13t，求证an为等比数列。（错证）由题意：3tsn2t3sn13t3tsn12t3sn23t两式相减得：3tsnsn12t3sn1sn20即：3230tantan1an2t3所以：为定值，所以an为等比数列。an13t由于在证明的过程没有注意到各符号有意义的条件，从而忽略了n的取值范围，导致证明不符合定义的完整性。正确的证明如下：n3时：3tsn2t3sn13t3tsn12t3sn23t两式相减得：3tsnsn12t3sn1sn20即：3tan2t3an10an2t3所以：an13t（这只能说明从第二项开始，后一项与前一

8、项的比为定值，所以需要对第二项与第一项的比另外加以证明，以达到定义的完整性。）又因为n2时：3ts22t3s13t即3taa2t3a3t121供参考又