不等式的概念和性质、基本不等式ppt课件.pptx

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1、考点一　不等式的概念及性质1.实数比较大小的方法a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔a=b;a-b<0⇔ab⇔bb,b>c⇒a>c.(3)a>b⇔a+c>b+c.推论1a+b>c⇔a>c-b.推论2a>b,c>d⇒a+c>b+d.(4)a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒acb>0,c>d>0⇒ac>bd.推论2a>b,ab>0⇒<.推论3a>b>0⇒an>bn(n∈N*,且n≥1).(5)a>b>0⇒>(n∈N*,且n>1).考点二　基本

2、不等式1.两个重要不等式(1)若a、b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取“=”.(2)若a、b∈(0,+∞),那么≥,当且仅当a=b时取“=”.2.算术平均数、几何平均数若a、b∈(0,+∞),那么叫做正数a、b的算术平均数,叫做正数a、b的几何平均数.3.基本不等式求最值的方法(1)若a、b∈(0,+∞),当ab为定值时,a+b有最小值,最小值为2,当且仅当a=b时取“=”.(2)若a、b∈(0,+∞),当a+b为定值时,ab有最大值,最大值为,当且仅当a=b时取“=”.(3)若a、b∈R,则≤.当a、b∈(0,+∞)时,a+b≤,当a2+b

3、2为定值时,a+b有最大值,当且仅当a=b时取“=”.4.基本不等式的几种变形及相关结论(1)几种变形对于基本不等式,不仅要记住原始形式,而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等,如:ab≤≤(a、b∈R);≤≤(a>0,b>0).(2)常用的结论(i)如果a、b∈(0,+∞),则≥≥≥(当且仅当a=b时取等号).(ii)若a∈(0,+∞),则a+≥2(当且仅当a=1时取等号);若a≠0,则a+≥2(当且仅当a=1时取等号)或a+≤-2(当且仅当a=-1时取等号).(iii)若a、b∈R,则2(a2+b2)≥(a+b)2,当且仅当a=b时取等号.(iv)

4、a2+b2+c2≥ab+ac+bc,当且仅当a=b=c时取等号.比较大小常用的方法比较大小常用的方法有作差法和作商法.(1)作差法比较大小的步骤:作差→变形→判断差的符号→下结论.(2)作商法比较大小的步骤:作商→变形→判断商与1的大小→下结论.其中变形是关键,变形方法有通分、因式分解和配方等,变形要彻底,要有利于与0或1比较大小.例1　若00且a≠1,则

5、loga(1-x)

6、与

7、loga(1+x)

8、的大小关系是(A)A.

9、loga(1-x)

10、>

11、loga(1+x)

12、　    B.

13、loga(1-x)

14、<

15、loga(1+x)

16、C.不确定,由a

17、的值决定　    D.不确定,由x的值决定方法1方法技巧解析　∵00,∴

18、loga(1-x)

19、-

20、loga(1+x)

21、=-=-·[lg(1-x)+lg(1+x)]=-·lg(1-x2)>0,∴

22、loga(1-x)

23、>

24、loga(1+x)

25、.应用不等式的性质解题使用不等式的性质时,一定要注意它们成立的前提条件,不可强化或弱化它们成立的条件,盲目套用.例如:(1)a>b,c>d⇒a+c>b+d,已知的两个不等式必须是同向不等式;(2)a>b

26、>0且c>d>0⇒ac>bd,已知的两个不等式不仅要求同向,而且必须为正值;(3)a>b>0⇒an>bn,其中a,b为正值,并且n∈N*,n≥1.若去掉“b>0”这个条件,取a=3,b=-4,n=2,就会出现32>(-4)2的错误结论;若去掉“n∈N*,n≥1”这个条件,取a=3,b=2,n=-1,会出现3-1>2-1,即>的错误结论.例2　已知-1

27、y)+(x-y),又由已知得-2<-(x+y)<,5<(x-y)<,∴3<-(x+y)+(x-y)<8,即z∈(3,8).解法二(线性规划法):-1

28、题时,要注意条件“一正、二定、三相等”.创造使用基本不等式的条件,