解线性方程组的迭代法.doc

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1、第五章解线性方程组的迭代法本章主要内容：迭代法收敛定义，矩阵序列收敛定义，迭代法基本定理，雅可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法，系数矩阵为严格对角占优阵的采用雅可比迭代、高斯-塞德尔迭代的收敛性。教学目的及要求：使学生了解迭代法收敛定义，迭代法基本定理，掌握雅可比迭代法、高斯-塞德尔迭代法。教学重点：雅可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法。教学难点：迭代法基本定理的证明以及作用。教学方法及手段：应用严格的高等代数、数学分析知识，完整地证明迭代法基本定理，讲清雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法的关系，介绍雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法在编程中的具体实现方法。

2、在实验教学中，通过一个具体实例，让学生掌握雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法的具体实现，并能通过数值计算实验，揭示高斯-塞德尔迭代法是对雅可比迭代法的一种改进这一事实。教学时间：本章的教学的讲授时间为6学时，实验学时4学时。教学内容：一迭代法定义对于给定的线性方程组，设它有唯一解，则(6.1)又设为任取的初始向量，按下述公式构造向量序列(6.2)这种逐步代入求近似解的方法称为迭代法（这里B与f与k无关）。如果存在（记为），称此迭代法收敛，显然就是方程组的解，否则称此迭代法发散。迭代法求方程近似解的关键是是讨论由(6.1)式所构造出来的向量序列是否收

3、敛。为此，我们引入误差向量将(6.2)式与(6.1)式相减，我们可得递推下去，得要考察的收敛性，就要研究在什么条件下有也就是要研究在什么条件下有。二迭代法收敛性定理矩阵的收敛性定义设有矩阵序列及，如果个数列极限均存在且有则称收敛于，记为。注：矩阵序列的收敛性是根据矩阵的每个分量序列的收敛性来定义的。【例题1】讨论约当块矩阵的幂次所构成的矩阵序列的收敛性。形如的矩阵称之为n阶的约当块。它可以分解成为下面，我们分几步来研究矩阵序列的收敛性。1矩阵的幂阵的性质我们不妨以4阶阵来看看这种性质。，，，的性质可归纳为以下两点：（1）如时，；（2）m=1时，的

4、第2条对角线元素为1，其余为零；m=2时，的第3条对角线元素为1，其余为零；m=3时，的第4条对角线元素为1，其余为零。简言之，的第m+1条对角线元素为1，其余为零（当没有第m+1条对角线时，应理解为零矩阵）。2计算约当块的幂次。当时，3一个极限性质因为，得到这里，注意事实4约当块幂阵的收敛性结论当时，收敛于零矩阵；当，发散。矩阵序列极限的概念可以用矩阵范数来描述。【定理1】，其中为矩阵的任意一种范数。证明显然有再利用矩阵范数的等价性，可证明定理对其他矩阵范数也成立。【定理2】的充要条件是，有。证明必要性记，据，可知。设，对于，有由可知，。类似地

5、，可证明。这里，是中的基本单位向量组。，则即，亦即。充分性据，有，由的任意性，如果取，则，亦即类似地，可分别让，可得故从而。【定理3】设，则的充要条件是。证明由高等代数知识，存在非奇奇异矩阵P使其中约当块且，显然有其中于是据例题1的结论，的充要条件是故的充要条件是。【定理4】（迭代法基本定理）设有方程组以及迭代法对任意选取初始向量，迭代法收敛的充要条件是矩阵的谱半径。证明充分性设则矩阵的特征值均大于零，故非奇异。有唯一解，且，即。误差向量由设，应用定理3，有。于是，对任意，有，即。必要性设对任意有其中，显然，极限是方程组的解，且对任意有由定理2知

6、。再由定理3，即得。判断迭代收敛时，需要计算，一般情况下，这不太方便。由于，在实际应用中，常常利用矩阵B的范数来判别迭代法的收敛性。【定理5】（迭代法收敛的充分条件）设有方程组以及迭代法（）如果有B的某种范数，则（1）迭代法收敛，即对任取有且。（2）。（3）。（4）。证明（1）由基本定理4，结论（1）是显然的。（2）由关系式，有（3）即显然亦成立。（4）。注：该定理中的第3款可作为误差的事后估计式。三几种常见的迭代法及收敛性下面，我们讨论线性方程组如何用迭代法求近似解的问题。这里，为非奇异矩阵，。（一）雅可比迭代法。设，将A分解成以下三部分记，那

7、么形成迭代式对于任意初值，（）这就是雅可比迭代法。注：1形成雅可比迭代式的条件是A的主对角线元素均非零。2雅可比迭代收敛的条件是。【例题2】对于线性方程组利用雅可比迭代法求其近似解（允许的最大迭代次数N，近似解的精度eps，由用户设定）。（二）高斯-塞德尔迭代法。从雅可比迭代的分量形式可以发现，在进行第k次迭代时，利用，，…，，生成向量，其分量产生的次序是，，…，。我们对雅可比方法进行以下改变设计：步1应用信息，，…，，据雅可比迭代分量式，生成分量；步2应用信息，，…，，据雅可比迭代分量式，生成分量；步3应用信息，，…，，据雅可比迭代分量式，生成

8、分量；……步n应用信息，，…，，，据雅可比迭代分量式，生成分量。如此生成的设计方案，是想更好地利用已有的最新有用信息。有理由相信，如此所