资源描述：
《近世代数课件42唯一分解环知识分享.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、近世代数课件42唯一分解环例1.举正反例子例2.在唯一分解环,每一个非零元a的因子,在相伴的意义下只有有限多个.证明:(1)如果a是单位,那么,a的因子只有单位,所有单位都相伴的(??).因此,a的因子,在相伴的意义下只有一个.(2)如果a不是单位,a可以分解a的因子只有下面的形式:不相伴因子总数不超过个说明:不同类因子不相伴,同类因子可能相伴.一个唯一分解环有下面重要性质。定理1一个唯一分解环有以下性质；（ⅲ）若一个素元能够整除，那么能够整除或。注:在一个非唯一分解环,一个非零元a的因子,可以有无穷多个不相伴的(吴品三,p181).证明能够整除(1)当之中有一个是零或是单
2、位的时候，定理也是对的。若，那么。若是单位，那么(2)和都不是零元，也都不是单位。这时c显然不等于零。我们说c又不是一个单位。不然的话而由Ⅳ，1定理2，是素元。这就是说，素元可以写成两个非单位的乘积，因而有真因子。这是矛盾。c既不是零又不是单位，由唯一分解环的定义，另一方面这样，由唯一分解的定义，一定是某一个或某一个的相伴元。若是某一个的相伴元，那么同样若是某一个的相伴元，那么。这样，能够整除中的一个。证完2.2等价条件性质（ⅲ）的重要性由以下定理可以看出。定理2假定一个整环有以下性质：（ⅰ）的每一个既不是零也不是单位的元都有一个分解（ⅲ）的一个素元若能整除，那么能整除或。
3、那么,一定是一个唯一分解环。证明我们看的一个不等于零也不是单位的元。由性质（ⅰ），有一个分解我们须要证明，有唯一分解；就是说，假定我们也有那么，并且我们可以把这些的次序掉换一下，使得是的相伴元。我们对素因子的个数r,应用第二型归纳法。(1)时,如果若是，那么其中不是单位，而作为素元的乘积也不是单位。这就是说，素元可以写成两个非单位的乘积，这不可能。所以,定理成立。(2)假如,定理对能写成个素元的乘积的元都成立,即都有唯一分解。在这个假定之下，我们看一个元的两种分解：由性质（ⅲ），能够整除某一个；把的次序换一换，我们可以假定，但是素元，不是单位，所以这样这里b是个素元的乘积，
4、所以依照归纳法假定，而且我们可以把的次序掉换一下，使得这样我们得到证完注由定理1，2，我们也可以用条件（ⅰ），（ⅲ）来作唯一分解的定义。2.3典型分解在唯一分解环中,每一个既不是零也不是单位的元都有分解称为典型分解.2.4最大公因子与互素定义2(公因子)元叫做元的公因子，假如c同时能够整除。定义3(最大公因子)元叫做的最大公因子,假如:(1)元是元的公因子.(2)的每一个公因子也是的因子。例2.整环中,两个元的最大公因子不一定存在.唯一分解环的另一重要性质是最大公因子的存在。定理3一个唯一分解环的两个元和b在里一定有最大公因子。和b的两个最大公因子d和只能差一个单位因子：证
5、明若之中有一个是零，比方说，那么b显然是一个最大公因子。若是之中一个单位，比方说是单位，那么显然是最大公因子。(首先在Z中介绍一个例子)现在看和b都不是零也不是单位是的情形。适当改变典型分解的形式,可以得到:用来表示与中较小的一个（的时候就叫）而作元那么显然.进一步,可以证明d是最大公因子.假定也是和b的最大公因子，那么当且仅当证完从这个定理用归纳法立刻可以得到推论一个唯一分解环的n个元在里一定有最大公因子。的两个最大公因子只能差一个单位因子。这样，若是几个元的某一个最大公因子是一个单位，这几个元的任何一个最大公因子也是一个单位。利用这一件事实，我们可以在一个唯一分解环里规
6、定互素这一个概念。定义4我们说，一个唯一分解环的院互素，假如它们的最大公因子是单位。这样规定互素概念显然是普通互素概念的推广。例3在,2和是互素的,但是,不存在多项式使得:类似的定理在条件更强的环中成立.作业:P135:2,3此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢
