椭圆离心率的三种求法、中点弦方程三种求法演示教学.doc

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1、精品好文档，推荐学习交流椭圆离心率的三种求法：(1)若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a2，b2，求a，c的值，利用公式e＝或利用直接求解.(2)求椭圆的离心率时，若不能直接求得的值，通常由已知寻求a，b，c的关系式，再与a2＝b2＋c2组成方程组，消去b得只含a，c的方程，再化成关于e的方程求解.(3)求离心率时要充分利用题设条件中的几何特征构建方程求解，从而达到简化运算的目的.涉及椭圆离心率的范围问题要依据题设条件首先构建关于a，b，c的不等式，消去b后，转化为关于e的不等式，从而求出e的取值范围.1.　若椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被点分成5∶3的

2、两段，则此椭圆的离心率为(　　)A.B.C.D.解析　依题意，得＝，∴c＝2b，∴a＝＝b，∴e＝＝.答案D点评　本题的解法是直接利用题目中的等量关系，列出条件求离心率.2.　设P是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的一点，F1，F2是其左，右焦点.已知∠F1PF2＝60°，求椭圆离心率的取值范围.分析　本题主要考查椭圆离心率取值范围的求法，建立不等关系是解答此类问题的关键.解　方法一　根据椭圆的定义，有

3、PF1

4、＋

5、PF2

6、＝2a.①在△F1PF2中，由余弦定理，得cos60°＝＝，即

7、PF1

8、2＋

9、PF2

10、2－4c2＝

11、PF1

12、

13、PF2

14、.②①式平方，得

15、PF1

16、2＋

17、PF2

18、2＋2

19、PF1

20、

21、P

22、F2

23、＝4a2.③由②③，得

24、PF1

25、

26、PF2

27、＝.④由①和④运用基本不等式，得

28、PF1

29、

30、PF2

31、≤，即≤a2.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢5精品好文档，推荐学习交流由b2＝a2－c2，得(a2－c2)≤a2，解得e＝≥.又e＜1，∴该椭圆的离心率的取值范围是[，1).方法二　如图，设椭圆与y轴交于B1，B2两点，则当点P位于B1或B2处时，点P对两焦点的张角最大，故∠F1B2F2≥∠F1PF2＝60°，从而∠OB2F2≥30°.在Rt△OB2F2中，e＝＝sin∠OB2F2≥sin30°＝.又e＜1，∴≤e＜1.∴该椭圆的离心率的取值范围是[，1).点评　在求椭圆离心率的取值

32、范围时，常需建立不等关系，通过解不等式来求离心率的取值范围，建立不等关系的途径有：基本不等式，利用椭圆自身存在的不等关系(如基本量之间的大小关系或基本量的范围，点与椭圆的位置关系所对应的不等关系，椭圆上点的横、纵坐标的有界性等)，判别式，极端情况等等.如上面方法二就应用了“当点P运动到短轴的端点时，点P对两焦点的张角最大”这一极端情况.(2016全国Ⅰ高考)直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆的中心到的距离为短轴长的，则该椭圆的离心率为（B）A.B.C.D.解：设椭圆是焦点在x轴上的标准方程，上顶点与右焦点分别为，则直线的方程为。又椭圆短轴长为2b，椭圆中心到的距离为，所以，即。（2017

33、济南一中调考）设椭圆的两个焦点分别为，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若为等腰直角三角形。则椭圆的离心率为（D）A.B.C.D.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢5精品好文档，推荐学习交流解：由题意得，解得。椭圆的中点弦方程的求法有三：（1）方程组法：通过解直线于与椭圆方程联立的方程组，利用一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式求解；（2）点差法：设直线与椭圆的交点（弦的端点）坐标为，将这两点的坐标代入椭圆方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。（3）中点转移法：先设出弦的一个端点的坐标，再借助中点得出弦

34、的另一个端点的坐标，分别代入椭圆方程作差可得。1.已知椭圆，过点P(2,1)作一条弦，使弦在这点被平分，求此弦所在的直线方程.分析　注意根与系数的关系及中点坐标公式的应用.本题也可用两方程直接相减求解.解　方法一　由题意，知所求直线的斜率存在，设此直线的方程为y＝k(x－2)＋1.由消去y并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程的两根，所以x1＋x2＝.因为点P为弦AB的中点，所以2＝＝，解得k＝－.故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.方法二　(点差法)设所求直线与椭圆的交点为A(x

35、1，y1)，B(x2，y2).因为点P为弦AB的中点，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又因为A，B在椭圆上，所以x＋4y＝16，x＋4y＝16.两式相减，得(x－x)＋4(y－y)＝0，即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，所以＝＝－，即kAB＝－.故所求直线的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.方法三　（利用对称性，中点转移法）设所求直线与椭圆的一个