资源描述：
《高考数学百大经典例题——球(新课标).docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯典型例题一例．已知地球的半径为R，球面上A,B两点都在北纬45圈上，它们的球面距离为R，13A点在东经30上，求B点的位置及A,B两点所在其纬线圈上所对应的劣弧的长度．分析：求点B的位置，如图就是求AO1B的大小，只需求出弦AB的长度．对于AB应把它放在OAB中求解，根据球面距离概念计算即可．解：如图，设球心为O，北纬45圈的中心为O1，由A,B两点的球面距离为R，所以AOB=，33OAB为等边三角形．于是ABR．由O1AO1BRcos452R，2O1A2O
2、1B2AB2．即AO1B=．2又A点在东经30上，故B的位置在东经120，北纬45或者西经60，北纬45．A,B两点在其纬线圈上所对应的劣弧O1A2R．24说明：此题主要目的在于明确经度和纬度概念，及利用球的截面的性质和圆的有关性质设计计算方案．典型例题二例2．用两个平行平面去截半径为R的球面，两个截面圆的半径为r124cm，r215cm．两截面间的距离为d27cm，求球的表面积．分析：此类题目的求解是首先做出截面图，再根据条件和截面性质做出与球的半径有关的三角形等图形，利用方程思想计算可得．解：设垂直于截面的大圆面交两截面圆于A1B1,A2B2，上
3、述大圆的垂直于A1B1的直径交A1B1,A2B2于O1,O2，如图2．-1-⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯d1d227设OO1d1,OO2d2，则d12242R2，解得R25．d22152R2S圆4R22500(cm2)．说明：通过此类题目，明确球的有关计算问题需先将立体问题转化为平面问题，进一步熟悉有关圆的基础知识，熟练使用方程思想，合理设元，列式，求解．典型例题三例3．自半径为R的球面上一点M，引球的三条两两垂直的弦MA,MB,MC，求MA2MB2MC2的值．分析：此题欲计算所求值，
4、应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算，所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系，便于将球的条件与之相联．解：以MA,MB,MC为从一个顶点出发的三条棱，将三棱锥MABC补成一个长方体，则另外四个顶点必在球面上，故长方体是球的内接长方体，则长方体的对角线长是球的直径．MA2MB2MC2=(2R)24R2．说明：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算．典型例题四例4．试比较等体积的球与正方体的表面积的大小．分析：首先抓好球与正方体的基本量半径和棱长，找出等量关系，再转化为其面积的大小关系．解：设球的半径为r，正
5、方体的棱长为a，它们的体积均为V，则由4r3V,r33V，r33Va3V,得a3V．4，由34S球4r24(33V)234V2．4S正方体6a26(3V)263V23216V2．421634V23216V2，即S球S正方体．说明：突出相关的面积与体积公式的准确使用，注意比较大小时运算上的设计．-2-⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯典型例题五例5．如图1所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．（1）求两球半径之和；（2）球的半径为多少时，两球体积之和最小．分析：此题的关
6、键在于作截面，一个球在正方体内，学生一般知道作对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面，得如图2的截面图，在图2中，观察R与r和棱长间的关系即可．解：如图2，球心O1和O2在AC上，过O1，O2分别作AD,BC的垂线交于E,F．图1则由AB1,AC3得AO13r,CO23R．rR3(rR)3，Rr333．312图2（1）设两球体积之和为V，则V4(R3r3)4(r)(2Rrr2)33RR=433(Rr)23rR433(33)23R(33R)323222=4333R23(33)R(323)2322当R33当Rr334时
7、，V有最小值．4时，体积之和有最小值．典型例题六例6．设正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的外接球，求这两个球的表面积之比及体积之比．分析：此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系，第二个关键是两个球的半径之间的关系，依靠体积分割的方法来解决的．解：如图，正四面体ABCD的中心为O，BCD的中心为O1，则第一个球半径为正四面体的中心到各面的距离，第二个球的半径为正四面体中心到顶点的距离．-3-⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯设OO1r,OAR，正四面体的一个面的面
8、积为S．依题意得VABCD1(r)，3SR1又VVrSABCD4OBCD43Rr4r即R3r．内切球的表面积
