高中数学导数极值点偏移问题专题-导数极值点偏移问题.doc

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1、导数极值点偏移专题目录一、极值点偏移二、极值点偏移的判定定理三、不含参数的偏移问题四、含参数的偏移问题五、含绝对值的偏移问题六、含指数的偏移问题七、含函数选取的偏移问题八、含函数偏移问题的极终手段一、极值点偏移的含义众所周知，函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称；可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点.如二次函数的顶点就是极值点，若的两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域内左侧的任意自变

2、量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同.故单峰函数定义域内任意不同的实数满足，则与极值点必有确定的大小关系：若，则称为极值点左偏；若，则称为极值点右偏.[KS5UKS5UKS5U]如函数的极值点刚好在方程的两根中点的左边，我们称之为极值点左偏.二、极值点偏移问题的一般题设形式：1.若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）；2.若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）；3.若函数存在两个零点且，令，求证：；4.若函数中存在且满足，令，求证：.三、问题初现，形神合聚★函数有两极值点，且.证明：.所以，所以，因为，，在上单调递减所以，

3、即.★已知函数的图象与函数的图象交于，过的中点作轴的垂线分别交，于点，问是否存在点，使在处的切线与在处的切线平行？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由.四、招式演练★过点作曲线的切线．（1）求切线的方程；（2）若直线与曲线交于不同的两点，，求证：．【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）先根据导数几何意义求切线斜率，再根据点斜式求切线方程．因为，不妨设，．设，则，当时，，在单调递增，[KS5UKS5UKS5U]所以，所以当时，．因为，所以，从而，因为，在单调递减，所以，即．一、极值点偏移的判定定理对于可导函数，在区间上只有一

4、个极大（小）值点，方程的解分别为，且，（1）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏；（2）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏.证明：（1）因为对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，则函数的单调递增（减）区间为，单调递减（增）区间为，由于，有，且，又，故，所以，即函数极（小）大值点右（左）偏；（2）证明略.左快右慢（极值点左偏）左慢右快（极值点右偏）左快右慢（极值点左偏）左慢右快（极值点右偏）二、运用判定定理判定极值点偏移的方法1、方法概述：（1）求出函数的极值点；（2）构造一元差函数；（3）确定函数的单调性；（4

5、）结合，判断的符号，从而确定、的大小关系.口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.2、抽化模型答题模板：若已知函数满足，为函数的极值点，求证：.（1）讨论函数的单调性并求出的极值点；假设此处在上单调递减，在上单调递增.[KS5UKS5U.KS5U（2）构造；注：此处根据题意需要还可以构造成的形式.[KS5UKS5U]（3）通过求导讨论的单调性，判断出在某段区间上的正负，并得出与的大小关系；假设此处在上单调递增，那么我们便可得出，从而得到：时，.（4）不妨设，通过的单调性，，与的大小关系得出结论；接上述情况，由于

6、时，且，，故，又因为，且在上单调递减，从而得到，从而得证.（5）若要证明，还需进一步讨论与的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为，故，由于在上单调递减，故.【说明】（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；（2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求的单调性、极值点，证明与（或与）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如或的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题.[KS5UKS5U.KS5U三、对点详析，利器显锋芒★已知函

7、数.(1)求函数的单调区间和极值；(2)若，且，证明：.∵，∴，在上单调递增，∴，∴.★函数与直线交于、两点.证明：.★已知函数，若，且，证明：.【解析】由函数单调性可知：若，则必有，。所以，而，令，则所以函数在为减函数，所以，所以即，所以，所以.★已知函数有两个零点.设是的两个零点，证明：.四、招式演练★已知函数，其中为自然对数的底数，是的导函数.（Ⅰ）求的极值；（Ⅱ）若，证明：当，且时，.【答案】(1)当时，无极值;当时,有极小值;(2)详见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出

8、函数的极值即可；（Ⅱ）求出函数f（x）的导数，设函数F（x）=f（x）﹣f（﹣x），求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．试题解析：（Ⅰ）的定义域为，当时，在时成立在上单调递