2020版三角函数恒等变换题型总结 .docx

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1、1．两角和与差的三角函数sin()sincoscossin；cos()coscossinsin；tan()tantan。1tantan2．二倍角公式sin22sincos；cos22cos2sin22cos2112sin；tan22tan。1tan23．三角函数式的化简常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。（1）降幂公式11cos

2、21cos2sincossin2；sin2；cos2。222（2）辅助角公式asin22xbcosxabsinx，其中sinb，cosa。a2b2a2b24．三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如(),2()()等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的

3、所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。5．三角等式的证明（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。1题型1：两角和与差的三角函数例1．已知sinsin1，coscos0，求co（s）的值。分析：因为（）既可看成是与的和，也可以看作是的倍角，因而可得到下面的两种解法。2解法一：由已知sin+sin=1,,,,①，cos+cos=0,,

4、,,②，①2＋②2得2+2cos（）1；∴cos（）1。2①2－②2得cos2+cos2+2cos（）=－1，即2cos（）〔co（s）1〕=－1。∴cos1。解法二：由①得2sincos221,,,,③由②得2cos2cos20,,,,④④÷③得cot0，2cos1tan2221tan2cot12212cot12点评：此题是给出单角的三角函数方程，求复角的余弦值，易犯错误是利用方程组解sin、cos、sin、cos，但未知数有四个，显然前景并不乐观，其错误的原因在于没有注意到所求式与已知式的关系本题关键在于化和为积促转化，“

5、整体对应”巧应用。例2．已知tan，tan是方程x25x60的两个实根根，求222sin3sincoscos的值。分析：由韦达定理可得到tantan及tantan的值，进而可以求出tan的值，再将所求值的三角函数式用tan表示便可知其值。解法一：由韦达定理得tantan5，tantan6，所以tantan1tantantan51.162222sin3sincoscos原式sin2cos222tan3tan1213113tan2111解法二：由韦达定理得tantan5，tantan6，所以tantan1tantanta

6、n51.16于是有原式2sin3kkZ，42k33sin2k32k3131422422cos3。点评：（1）本例解法二比解法一要简捷，好的解法来源于熟练地掌握知识的系统结构，从而寻找解答本题的知识“最近发展区”。（2）运用两角和与差角三角函数公式的关键是熟记公式，我们不仅要记住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的关系，次数关系，三角函数名等抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点。（3）对

7、公式的逆用公式，变形式也要熟悉，如coscossinsincos，tantan1tantantantantantantan，tantan，tantantantantantan。题型2：二倍角公式例3．化简下列各式：（1）12111cos22223，2，2（2）2cos2sin。2cot42cos4分析：（1）若注意到化简式是开平方根和2是的二倍，是的二倍，以及其范围不难找到解题的突破口；（2）2由于分子是一个平方差，分母中的角44，若注意到这两大特征，，不难得到解题的切入点。23解析：（1）因为212

8、，所以21cos22coscos，又因3，所以11cossinsin，422222所以，原式=s