法向量在立几中的应用

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1、法向量在立几中的应用随着新教材中向量工具的引入，立体几何的解题更加灵活多样，这为那些空间想象能力较差的同学提供了机遇。利用平面的法向量几乎可以解决所有的立几计算问题，尤其在求二面角和点到面的距离时，法向量有着它独有的优势¾¾不用作图而直接计算。以下举例说明法向量在立几中的一些应用。一法向量的有关概念如果一个向量所在直线垂直于平面，则该向量是平面的一个法向量。二法向量的主要作用1证明线面平行取和直线平行的向量，验证该向量和法向量的点积是否为零。2证明面面垂直验证两个平面的法向量的点积是否为零。3求直线和直线所成的角利用两条直线的方向向量的夹角的余弦的绝对值为两直线的夹角的余弦而得。4

2、求直线和平面所成的角如图，已知PA为平面a的一条斜线，n为平面a的一个法向量，过P作平面a的垂线PO，连结OA则ÐPAO为斜线PA和平面a所成的角，记为q易得naAPOqnaAPOq5求点到平面的距离如图点P为平面外一点，点A为平面内的任一点，平面的法向量为n,过点P作平面a的垂线PO，记PA和平面a所成的角为q，则点P到平面的距离6求二面角的大小如图在二面角中n1和n2分别为平面a和b的法向量若二面角记二面角的大小为q，若该二面角为锐二面角则或(依据两平面法向量的方向而定)，但总有=所以此时若二面角为钝二面角则或(依据两平面法向量的方向而定)，但总有=所以此时三法向量的求法ABC

3、C1D1A1B1AEGF如图，在正方体ABCD-A1B!C1D1中G、E、F分别为AA1、AB、BC的中点，求平面GEF的法向量。略解：以A为原点建立右手空间直角坐标系，则E(1，,0)、F(，1,0)、G(1,0，)由此得设平面的法向量量为由^及^可得令y=1取平面的一个法向量为四法向量的应用举例例1如图DABC是以ÐB为直角的直角三角形，SA^平面ABC，SA=BC=2，AB=4，N、D分别是AB、BC的中点。(1)求二面角S-ND-A的余弦值；SABBCNDxyz(2)求点A到平面SND的距离。略解：以B为原点，BA所在直线为x轴建立空间直角坐标系，易得S(4、0、2)，N(

4、2、0、0)D(0、1、0)，由于SA^平面ABC故可取平面ADN的法向量为=(0、0、1)又设平面SDN的法向量为=(x、y、z)=(2、-1、0)=(-2、0、-2)由可得可取该平面的法向量=(1、2、-1)因为该二面角为锐二面角，所以二面角的S-DN-A的余弦值为N在平面SND内，A(4、0、0、)所以A到平面SND的距离例2(2002年高考天津卷)如右图，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为。ABB1C1A1Cxyz(1)建立适当的坐标系，并写出点A、B、A1、C1的坐标；(2)求AC1与侧面ABB1A1所成的角。略解：以A为原点AB所在直线为x轴，建立如图

5、所示空间直角坐标系，(1)易得A(0、0、0)B(0、a、0)A1(0、0、a)C1((3)显然可取平面ABB1A1的法向量=(0、a、0)(或(0、1、0))=(，设AC1与侧面ABB1A1所成的角为q，则有所以AC1与侧面ABB1A1所成的角为30o例3(2003年高考江苏卷)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ÐACB=90o，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是DABD的重心G。(1)求A1B与平面ABD所成角的大小(结果用反三角函数值表示)(2)求点A1到平面AED的距离。略解：以C为原点，CA所在直线为x

6、轴建立空间直角坐标系，设AC的长为a则A(a、0、0)，B(0、a、0)，D(0、0、1),ABB1C1A1CxyzDEGA1(a、0，2)则点G(、、)，E(、、1)由于E在面ABD内的射影为G点所以GE^面ABD又由及可得解得a=2(1)取为平面ABD的法向量，=(-2,2，-2)设A1B和平面ABD所成的角为q，则故所求A1B和平面ABD所成的角为(2)在平面AED中(-1、1、1)(-2、0、1)设平面AED的法向量为由可得所以令x=1取平面AED的法向量为，又A在平面AED中=(0、0、-2)记A1到平面AED的距离为d则用法向量求线线角，线面角，二面角，点到面的距离时，

7、若可以建立空间直角坐标系，则解题非常方便，若不能建立空间直角坐标系，可采用基底表示的方法，此时计算量会增大，但问题还是可以顺利解决的。2003年6月29日