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1、§12.2离散型随机变量及其分布列、均值与方差高考理数(北京市专用)1A组 自主命题·北京卷题组1.(2017北京,17,13分)为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成下图,其中“*”表示服药者,“+”表示未服药者.(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值小于60的概率;五年高考2(2)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人,记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数,求ξ的分布列和数学期望E(ξ);(3)试判断这100名患者中服
2、药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论)解析本题考查古典概型,离散型随机变量的分布列与数学期望,方差等知识.(1)由题图知,在服药的50名患者中,指标y的值小于60的有15人,所以从服药的50名患者中随机选出一人,此人指标y的值小于60的概率为=0.3.(2)由题图知,A,B,C,D四人中,指标x的值大于1.7的有2人:A和C.所以ξ的所有可能取值为0,1,2.P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==.所以ξ的分布列为3方法总结①在求解离散型随机变量的分布列与数学期望时,先确定随机变量的取值及各个取值对应的概率,利用期
3、望的公式求其数学期望;②在比较数据的方差时,可以根据两组数据的集中或分散程度进行比较.故ξ的期望E(ξ)=0×+1×+2×=1.(3)在这100名患者中,服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差.ξ012P42.(2013北京,16,13分,0.68)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图.空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.(1)求此人到达当日空气重度污染的概率;(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与数学期望;(3
4、)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)5解析设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i=1,2,…,13).根据题意,P(Ai)=,且Ai∩Aj=⌀(i≠j).(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”,则B=A5∪A8.所以P(B)=P(A5∪A8)=P(A5)+P(A8)=.(2)由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,且P(X=1)=P(A3∪A6∪A7∪A11)=P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)=,P(X=2)=P(A1∪A2∪A12∪A13)=P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)=,
5、P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)=.所以X的分布列为6故X的期望EX=0×+1×+2×=.(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.X012P思路分析(1)由此人到达日期的随机性得到每日到达的概率均相等,找出符合要求的所有可能,利用概率的加法公式求出概率;(2)利用概率的有关知识,求出X分别取0,1,2时的概率,从而得出分布列和期望;(3)根据图象的上下波动情况判断方差.7B组 统一命题、省(区、市)卷题组考点一 离散型随机变量及其分布列1.(2015天津,16,13分)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.
6、现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.解析(1)由已知,有P(A)==.所以,事件A发生的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X=k)=(k=1,2,3,4).所以,随机变量X的分布列为8随机变量X的数学期望E(X)=1×+2×+3×+4×=.X1234P评析本题主要考查古典概型及其
7、概率计算公式,互斥事件,离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.属中等难度题.92.(2015重庆,17,13分)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.(1)求三种粽子各取到1个的概率;(2)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望.解析(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有P(A)==.(2)X的所有可能值为0,1,2,且P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==.综上知
8、,X的分布列为X012P故E(X)=0
