上海交大数值分析课件数值分析2-4(埃尔米特插值)

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1、复习前面我们已经学过两种插值方法,:Langrange插值法和Newton插值法。共同点1)插值条件相同,即xix0x1…xnyi=f(xi)y0y1…yn2)求一个次数不超过n的代数多项式不同点构造方法(思想)不同Langrange插值法采用基函数的思想Newton插值法采用承袭性的思想注:两种方法的结果相同(唯一性)2.4埃尔米特插值一、埃尔米特插值多项式二、两种简单情形三、例题一、Hermite插值多项式的定义插值条件中除函数值插值条件外,还有导数值插值条件,即已知:2n+2个条件xix0x1…xnyi=f(xi)y0y1……yn求:一个次

2、数不超过2n+1的多项式H2n+1(x)二、两种简单情形情形1.已知:3个条件xi01yi=f(xi)y0y1求:一个次数不超过2的多项式H2(x)解:用基函数的方法,设则可求得:其中是基函数,满足(1)都是2次多项式;(2)开关性插值余项为:情形2.已知:4个条件xix0x1yi=f(xi)y0y1求:一个次数不超过3的多项式H3(x)注意用基函数的方法插值余项为:已知:2n+2个条件则对于一般情况:xix0x1…xnyi=f(xi)y0y1……yn求:一个次数不超过2n+1的多项式H2n+1(x)则可以设:其中:插值余项为:三、例题例1:给定

3、如下数据表,求次数不高于3次的代数插值多项式。xi01f(xi)0011解:本题利用承袭性的思想首先利用:xi01f(xi)01求出:L1(x)增加:00xi01f(xi)001再增加:11xi01f(xi)0011例2:给定如下数据表,求次数不高于3次的代数插值多项式。xi012f(xi)0001例3:给定如下数据表,求次数不高于4次的代数插值多项式。xi0123f(xi)01203例4:给定如下数据表,求次数不高于5次的代数多项式。xi-1012f(xi)10114160.115解:先构造插值于四个函数值的插值多项式用Newton插值法可得:

4、再构造插值于两个导数值的插值多项式解出系数例5:给定如下数据表,求次数不高于3次的代数多项式。xix0x1f(xi)f(x0)f(x1)提示例6:给定如下数据表,求首项系数为1的4次的代数多项式。xiabf(xi)0000提示xiabf(xi)0000进一步讨论第2列中的“0”上移和下移情况下如何求解?Hermite插值的方法:基函数方法承袭性方法注意:当给出某个点处的函数值及其各阶导数时,可利用泰勒插值。待定系数法本学期不能用!作业:习题13,14,15,16

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