复变函数4---1-复数项级数和序列以及泰勒级数.pptx

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1、复数项级数和序列复数序列复数列即有序的复数集{zn}={z1，z2，…，zn，…}称{zn}收敛于z0，若记作lim

2、znz0

3、0nlimznz0n复数列的极限归结为实数列的极限limznz0lim

4、znz0

5、0nnlim

6、xnx0

7、0lim

8、yny0

9、0limxnx0limyny0nnnn性质1线性性质，C，limznz0，limwnw0nnlimzn+wnz0+w0n性质2Cauch

10、y收敛准则znz0任意0，存在N，使得当m，n>N时，

11、zmzn

12、性质1线性性质，C，limznz0，limwnw0limzn+wnz0+w0nnn复数项级数对于复数列{z1，z2，…，zn，…}，称znz1z2znn1为复数项级数。部分和记为nSnzkz1z2znk1收敛性：若limSnS，则称级数zn收敛，记作S若{Sn}发散，则称级数zn发散。n1若

13、zn

14、收敛，称级数zn绝对收敛。n1n1nz

15、nn1n1对应的实数项级数部分和xnx1x2n1ynn1y1y2xnynnXnxkx1x2xnk1nYnykk1y1y2yn定理：复数项级数zn收敛于Sn1实数项级数xn，yn分别收敛于X和Y。n1n1此时，S=X+iY定理：复数项级数zn收敛于Sn1实数项级数xn，yn分别收敛于X和Y。n1n1此时，S=X+iY证明：由于Sn=Xn+iYn，可知SnSXnX，YnY。定理：复数项级数

16、zn绝对收敛实数项级数xn，yn都绝对收敛。n1n1n1定理：复数项级数zn绝对收敛实数项级数xn，yn都绝对收敛。n1n1证明：“”假设

17、zn

18、收敛，由于n1

19、xn

20、≤

21、zn

22、，

23、yn

24、≤

25、zn

26、，可知

27、xn

28、，

29、yn

30、收敛。n1n1n1定理：复数项级数zn绝对收敛实数项级数xn，yn都绝对收敛。n1n1证明：“”假设

31、xn

32、，

33、yn

34、收敛，则(

35、xn

36、

37、yn

38、)收敛，由于

39、zn

40、≤

41、xn

42、+

43、yn

44、，可知

45、zn

46、

47、收敛。n1n1n1n1n1定理：复数项级数zn绝对收敛实数项级数xn，yn都绝对收敛。n1n1n1推论：复数项级数zn绝对收敛n1级数znn1收敛。性质：1、zn收敛zk0{zk}有界；2、zn收敛>0，存在N，使n1得n>N时，

48、zn1zn23、n1znp

49、n1n1n1(znwn)znwn例1：判断如下数列的收敛性，若收敛，求极限。（1）zn()，（2）zncosin。

50、2ni分析与解：（1）由于

51、i/2

52、<1，猜测{zn}的极限为0可知例1：判断如下数列的收敛性，若收敛，求极限。（1）zn()，（2）zncosin。2

53、z

54、

55、(i)n

56、1022nnlimzn0nni例1：判断如下数列的收敛性，若收敛，求极限。（1）zn()，（2）zncosin。2ni分析与解：（2）由余弦函数的定义(n0)可知数列zncosin发散。zcosin1(enen)2n例2：讨论数列{zn}的收敛性，其中n，为复数。zn分析与解：类似于实数列情

57、形，应该以1为临界点分为三种情况：（1）

58、

59、<1，（2）

60、

61、=1，（3）

62、

63、>1例2：讨论数列{zn}的收敛性，其中n，为复数。zn（1）

64、

65、<1，此时可知例2：讨论数列{zn}的收敛性，其中n，为复数。zn

66、z

67、

68、

69、n0nlimzn0n（2）

70、

71、=1，

72、zn

73、

74、

75、1，可知数列{zn}在单位圆上运动。例2：讨论数列{zn}的收敛性，其中n，为复数。znn（2）

76、

77、=1，

78、zn

79、

80、

81、1，可知数列{zn}在单位圆上运动。设=ei，则zn=ein。

82、当=2k，即=1时，显然有limzn1。例2：讨论数列{zn}的收敛性，其中n，为复数。znnn（2）

83、

84、=1，

85、zn

86、

87、

88、1，可知数列{zn}在单位圆上运动。设=ei，则zn=ein。当=2k，即=1时，显然有limzn1。当≠2k，

89、由Cauchy收敛准则知极限不存在。例2：讨论数列{zn}的收敛性，其中n，为复数。znnnini(n1)

90、

91、1znzn1

92、

93、ee

94、（3）

95、

96、>