有限元第4章刚度矩阵方程的处理.ppt

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1、第四章刚度矩阵方程的处理如果刚架系统中杆件数目较多，节点数目就较多，刚度矩阵的阶次就高，对于有n根杆件的桁架来说，刚度矩阵的阶次就是刚度矩阵元素全部存入计算机中。对计算机来说是一个很大的负担，而且可能存不下。例如，1000个节点的系统，就必须有刚度矩阵性质总结起来刚度矩阵有以下一些性质：(1)整体刚度矩阵是对称矩阵。已知单元刚度矩阵为对称矩阵，由它按对称方式集成的整体刚度矩阵必然也是对称的。(2)整体刚度矩阵中每个元素的物理意义为，在节点j发生单位位移而其他节点位移为零时，在节点i处产生的节点力。(3)整体刚度矩阵的主对角线上的元素总是正的.(4)整体刚度矩阵是一个奇异阵

2、，不存在逆矩阵，只有加上边界条件后，才能求解刚度矩阵方程。(5)整体刚度矩阵是一个稀疏矩阵。因为离散化的结构的任一节点只与绕它的相连单元发生联系，所以整体刚度矩阵的每一行中含有大量的零元素，而非零的元素往往分布在主对角线附近，并成带状分布。①③②如图4-1所示。最后的总体刚阵就成为以主对角线为中心的“带状”区域，区域内有非零元素，而在这一带状区域外则全为零。如果i，j的差较小，则这一带状区域就较“窄”，反之则较宽。这样的矩阵称为带状分布的稀疏矩阵。首先，由稀疏性，我们知道矩阵中有大量零元素，可以不存入计算机中。其次，利用非零元素沿主对角线带状分布的性质可以只存储带状区域内

3、的元素。一种压缩存储量的办法是找出所有各行中非零元素所占最宽的一行，以离对角线最远的元素为基准画出一条平行于主对角线的带子，称为刚度矩阵的带宽。存储时，只存储带内元素，而且利用刚度矩阵的对称性，只存一半，即只存主对角线以下(以上)到带子边线内的元素。显然，这样可以大大减少存储量。许多通用的有限元程序就是采用这种存储刚度矩阵的方法。这种存储方法称为等带宽存储。减少最大半带宽可以减小等带宽存储的刚度矩阵存储量。而半带宽与单元节点号的编号差有关。因此，当我们对一个要求解的系统编号时，就应有所讲究，也就是使每个单元的节点编号差尽可能小。一般来说，当一个结构较长时，应先顺其较窄的方

4、向编号，然后向较长的方向移动。下面的例子可以说明不同编号方法对刚度矩阵存储量的影响。①②③④⑤⑥⑦⑧⑨一般来讲，刚度矩阵的最大半带宽=节点自由度数×(单元中节点最大编号差+1)。单元内的节点最大编号差决定着刚度矩阵的带宽，而影响刚度矩阵的存储量，这对于节点数较多的单元形式尤为重要。为进一步减小刚度矩阵存储量以节省计算机资源，除了等带宽存储刚度矩阵元素的方法外，还有一种更为经济的存储方式，称为变带宽存储。如图4-3所示，刚度矩阵中每一行所具有的非零元素数目不等，存储时可不必按最大带宽将带内元素全部存储。因为解方程组时只用到每行第一个非零元素及其以后的诸元素，因此只要将图4-

5、3中折线到对角线间的元素存在计算机中即可。这样一来又可以少存许多零元素。再采用一维数组存储，又可以进一步减小存储量。这称为一维变带宽压缩存储。从数学上看，未经处理的总纲是对称、半正定的奇异矩阵，它的行列式值为零，不能立即求逆。为了使问题可解，必须对结构加以足够的位移约束，也就是应用位移边界条件。首先要通过施加适当的约束，消除结构的刚体位移，再根据问题要求设定其他已知位移。所以，处理位移边界条件在有限元分析步骤中十分重要。1.降阶法(删行删列法)若结构的某些节点位移值为零时(即与刚性支座连接点的位移)，则可将总体刚度矩阵中相应的行列、删行删列划掉，然后将矩阵压缩即可求解。这

6、种方法的优点时道理简单。如果删去的行列很多，则总体刚度矩阵的阶数可大大缩小。通常用人工计算时常采用该方法。若用计算机算题，在程序编制上必带来麻烦，因为刚度矩阵压缩以后，刚度矩阵中各元素的下标必全改变。因而一般计算机算题不太采用。2.主对角元素置“1”法这是边界位移为零的处理方法。将总刚度矩阵中零位移分量所对应行和列的主对角元素置为1，而其它元素皆变为0。在节点载荷列阵中，将零位移分量所对应的节点载荷也变为0。3.边界位移为已知值的处理方法如果节点位移是大于零的已知数值，则将该位移分量所对应的主对角元素置为大数，再将节点载荷列阵中对应的分量置为大数乘以已知的节点位移，而其余

7、各行保持不变。应用有限元法，最终都是归结为解总体刚度矩阵平衡方程，它实际上是以总体刚度矩阵为系数矩阵的大型线性代数方程组。通过对结构施加位移边界条件，消除了结构的刚体位移，从而消除总体刚度矩阵的奇异性，解这个线性代数代数方程组可求出节点位移。总刚度平衡方程的求解直接解法高斯消去法、三角分解法迭代解法高斯-赛德尔迭代、超松弛迭代(1)高斯消去法基本思想使逐行逐次消去一个未知数，最后将原方程变成一个等价的三角形方程，再经过逐个回代，解出全部的未知数。由于刚阵都是正定矩阵，即矩阵各主子阵有代回到式中第2至第n个方程第二次消元是对降一