第3章--线性方程组.ppt

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1、向量组与矩阵的秩线性方程组的解法第三章线性方程组1第一节齐次线性方程组21.线性组合与线性表示一.线性相关性定义1：给定向量组对于任何一组实数向量称为向量组A的一个线性组合，称为这个线性组合的系数。定义2：给定向量组和向量如果存在一组实数使得则称向量是向量组A的线性组合，或称向量能由向量组A线性表示。3例如：有所以，称是的线性组合，或可以由线性表示。4定理1:判断向量可否由向量组线性表示的定理。向量可由向量组线性表示的充分必要条件是：以为系数列向量，以为常数项列向量的线性方程组有解，且一个解就是线性表示的系数。线性方程组的矩阵表示和向量表示：5令方程组可表示为则

2、方程组的向量表示为62.线性相关,线性无关及其几何说明几何意义：(1)两向量线性相关：两向量共线.(2)三向量线性相关：三向量共面.定义：例1：用定义判断线性相关性。(1)向量线性______关。(2)向量线性______关。相相73.判断线性相关性的定理至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示向量组线性相关定理：推论：向量组线性无关任一个向量都不能由其余m-1个向量线性表示(1)(2)n维向量组线性相关定理3:推论：n维向量组线性无关8例:试讨论向量组及向量组的线性相关性.解：设数使得成立。即未知量为系数行列式齐次线性方程组有非零解，所以向量线性相关。向量对

3、应分量不成比例，所以线性无关。9例:n维向量讨论它们的线性相关性.结论:线性无关解:上述向量组又称基本向量组或单位坐标向量组.问题:n=3时,分别是什么？10(3)则向量组也线性相关。则，向量组也线性无关。若向量组线性相关，定理：若向量组线性无关，定理：部分相关则整体相关整体无关则部分无关(4)定理：n维向量组线性无关，把每个向量的维数增加后，得到的新向量组仍线性无关。定理：n维向量组线性相关，把每个向量的维数减少后，得到的新向量组仍线性相关。114.线性相关及表示的定理则向量必能由向量组A线性表示，且表示式唯一.定理：向量组线性无关,而向量组线性相关,5.一些

4、结论(1)单个零向量线性相关,单个非零向量线性无关；(2)包含零向量的任何向量组线性相关；(4)有两个向量相等的向量组线性相关；(3)基本向量组线性无关;12(5)m>n时，m个n维向量必线性相关.特别：m=n+1(6)n个n维向量线性无关(7)n维向量空间任一线性无关组最多只能包含n向量.它们所构成方阵的行列式不为零.13二.向量组的秩1.向量组的一个基本性质定理：设与是两个向量组，如果(2)则向量组必线性相关。推论1：如果向量组可以由向量组线性表示，并且线性无关，那么推论2：两个线性无关的等价的向量组，必包含相同个数的向量。(1)向量组线性表示；可以由向量组

5、向量组的秩142.极大线性无关组定义1:注:（1）只含零向量的向量组没有极大无关组.简称极大无关组。对向量组A，如果在A中有r个向量满足：（2）任意r＋1个向量都线性相关。（如果有的话）线性无关。（1）那么称部分组为向量组的一个极大线性无关组。（2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。（3）一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性表示15例如：在向量组中，首先线性无关，又线性相关，所以组成的部分组是极大无关组。还可以验证也是一个极大无关组。注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。16极大无关组的一个基本性质：任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。

6、又，向量组的极大无关组不唯一，而每一个极大无关组都与向量组等价，所以：向量组的任意两个极大无关组都是等价的。由等价的线性无关的向量组必包含相同个数的向量，可得一个向量组的任意两个极大无关组等价，且所含向量的个数相同。定理：173.向量组的秩定义2：向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩,记作例如：向量组的秩为2。18（4）等价的向量组必有相同的秩。关于向量组的秩的结论：（1）零向量组的秩为0。（2）向量组线性无关向量组线性相关（3）如果向量组可以由向量组线性表示，则注：两个有相同的秩的向量组不一定等价。两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一个线

7、性表示，则这两个向量组等价。194.向量空间的基与维数定义：设V是向量空间，如果r个向量且满足线性无关。（1）（2）V中任一向量都可由线性表示，那么，就称向量组是向量空间V的一个基，r称为向量空间V的维数，记作dimV＝r并称V是r维向量空间。注：（1）只含有零向量的向量空间没有基，规定其维数为0。（2）如果把向量空间看作向量组，可知，V的基就是向量组的极大无关组，V的维数就是向量组的秩。（3）向量空间的基不唯一。20,2称为矩阵A的k阶子式。阶行列式，的中所处的位置次序而得变它们在不改元素处的个kn)，位于这些行列交叉列(km,行中任取矩阵在mn定义kA

8、kkkA矩阵秩的概念矩