2016北京吉利学院数学自主招生试题测试版(附答案解析).docx

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1、优选限时：40分钟　满分：52分1．(满分13分)已知函数f(x)＝x3－ax2－3x.(1)若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，数a的取值围；(2)若x＝－是f(x)的极值点，求f(x)在[1，a]上的最大值；(3)在(2)的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)＝bx的图像与函数f(x)的图像恰有3个交点？若存在，请求出实数b的取值围；若不存在，试说明理由．解：(1)f′(x)＝3x2－2ax－3.∵f(x)在[1，＋∞)上是增函数，∴f′(x)在[1，＋∞)上恒有f′(x)≥0，即3x2－2ax－3≥0在[1

2、，＋∞)上恒成立，则必有≤1且f′(1)＝－2a≥0.∴a≤0，即实数a的取值围是(－∞，0]．(2)依题意，f′＝0，即＋a－3＝0.∴a＝4，∴f(x)＝x3－4x2－3x.令f′(x)＝3x2－8x－3＝0，得x1＝－，x2＝3.则当x变化时，f′(x)与f(x)变化情况如下表：8/8优选x1(1,3)3(3,4)4f′(x)－0＋f(x)－6－18－12∴f(x)在[1,4]上的最大值是f(1)＝－6.(3)∵函数g(x)＝bx的图像与函数f(x)的图像恰有3个交点，即方程x3－4x2－3x＝bx恰有3个不等

3、实根．∴x3－4x2－3x－bx＝0，∴x＝0是其中一个根，∴方程x2－4x－3－b＝0有两个非零不等实根．∴∴b>－7且b≠－3.∴存在满足条件的b值，b的取值围是b>－7且b≠－3.2．(满分13分)已知函数f(x)＝x－ax2－ln(1＋x)，其中a∈R.(1)若x＝2是f(x)的极值点，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)若f(x)在[0，＋∞)上的最大值是0，求a的取值围．解：(1)f′(x)＝，x∈(－1，＋∞)．依题意，得f′(2)＝0，解得a＝.经检验，当a＝时，符合题意，故a＝.8/8优选(2)

4、①当a＝0时，f′(x)＝，由f′(x)>0和f′(x)<0，易得f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)，单调递减区间是(－1,0)．②当a>0时，令f′(x)＝0，得x1＝0或x2＝－1.当01时，－1

5、：x(－1，x2)x2(x2，x1)x1(x1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)f(x2)f(x1)所以，f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是和(0，＋∞)．③当a<0时，f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)，单调递减区间是(－1,0)．8/8优选综上，当a≤0时，f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)，单调递减区间是(－1,0)；当01时，f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是和(0

6、，＋∞)．(3)由(2)知a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，由f(0)＝0，知a≤0时不合题意．当0f(0)＝0，知0

7、为函数f(x)的图像上一点A(x0，f(x0))处的切线．证明：在区间(1，＋∞)上存在唯一的x0，使得直线l与曲线y＝g(x)相切．解：(1)∵φ(x)＝f(x)－＝lnx－，∴φ′(x)＝＋＝.∵x>0且x≠1，∴φ′(x)>0，∴函数φ(x)的单调递增区间为(0,1)和(1，＋∞)．(2)证明：∵f′(x)＝，∴f′(x0)＝，∴切线l的方程为y－lnx0＝(x－x0)，即y＝x＋lnx0－1，①设直线l与曲线y＝g(x)相切于点(x1，ex1)，∵g′(x)＝ex，∴ex1＝，∴x1＝－lnx0.∴直线l的方程为

8、y－＝(x＋lnx0)，即y＝x＋＋，②8/8优选①－②，得lnx0－1＝＋，∴lnx0＝.下证：在区间(1，＋∞)上x0存在且唯一．由(1)可知，φ(x)＝lnx－在区间(1，＋∞)上递增．又φ(e)＝lne－＝<0，φ(e2)＝lne2－＝>0，结合零点存在性定理，说明方程φ(x)＝0必在区间(e，e2)上有唯一