大学复变函数课件-共形映射.doc

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1、第七章共形映射前面我们借助于积分、级数等方法研究了解析函数，这一章将用几何的思想来讨论解析函数的性质和应用。从几何上看：复变函数是从复平面到复平面之间上的一个映射。而解析函数所确定的映射（解析变换）是具有一些重要的性质。它是复变函数论中最重要的概念之一，与物理中的概念有密切的联系，而且对物理学中许多领域有重要的应用。如应用共形映射成功地解决了流体力学与空气动力学、弹性力学、磁场、电场与热场理论以及其他方面的许多实际问题。不但如此，20世纪中亚音速及超音速飞机的研制促成了从保形映射理论到拟保形映射理论的发展。第一节解析变换的特征首先，讨论一般解析变换的一些性质：

2、定理7.1设在区域内解析且不恒为常数，则的像也是一个区域。证明：首先证明是一个开集。设，则有使得。由解析函数零点的孤立性，存在以为心的某个圆周，使得及的内部全包含在内，除外，在及的内部，都不为零，故存在在上.对于满足的，在上，有.由Rouche定理，在的内部，和在内有相同个数的零点，即的邻域包含在内。由于是连续的，所以显然是连通的。下面研究单叶解析函数的映射性质。我们知道：设函数w=f(z)在区域内解析，并且在任意两不同点，函数所取的值都不同，则称它为区域上的单叶解析函数，简称即为单叶函数。利用证明定理7.1的方法，我们可以得到：引理7.1设函数f(z)在点解

3、析，且为的p阶零点，则对充分小的正数，存在着一个正数，使得当时，在内有p个一阶零点。例1、函数及，（其中是复常数，且）是z平面上的单叶解析函数，它们把z平面映射成w平面，。例2、在每个带形内单叶解析，并且把这个带形映射成平面上除去从原点出发的一条射线而得的区域，其中a是任意实常数。推论1、设函数f(z)在区域D内单叶解析，那么在D内任一点，证明：假定由引理7.1，得出与单叶相矛盾得结论。上述推论的逆命题不成立，例如的导数在z平面上不为零，而该函数在整个z平面上不是单叶的。利用引理7.1，我们有推论2设函数在解析，并且，那么f(z)在的某邻域内是单叶的。如果在区

4、域D内单叶解析，根据定理7.1，它把区域D双射到区域.f(z)在内所确定的函数为.并且有定理7.6设函数f(z)在区域D内单叶解析，并且，那么在内所确定的函数是单叶的，并且如果，那么证明：任给，选取引理7.1中的正数及，使得，那么，当时，，因此在内任一点连续。下面证明导数公式成立。当，并且时，我们有。于是因为当时，，所以即定理的结论成立。设函数w=f(z)是区域D内的解析函数.设,.考虑在过的一条简单光滑曲线C：其中x(t)及y(t)是z(t)的实部和虚部.设。由于曲线C在的切线与实轴的夹角是的幅角.实际上，作从曲线C上之点到的割线，由于割线的方向与向量的方向

5、一致，则向量与实轴的夹角为，由于是光滑曲线，那么当趋近于时，割线确有极限位置，即为曲线C在的切线的位置。故极限存在。因此下列极限也存在：它就是曲线C在处切线与实轴之间的夹角。由于，函数w=f(z)把简单光滑曲线C映射成过的一条光滑曲线：它在的切线与实轴之间的夹角是因此，在处的切线与实轴的夹角及C在处的切线与实轴之间的夹角相差，而这一数值与曲线C的形状及在处切线的方向无关，因此，称其为旋转角。设在D内过还有一条简单光滑曲线，函数w=f(z)把它映射成一条简单光滑曲线。和上面一样，与在及处切线与实轴的夹角分别是及所以，在处曲线到曲线的夹角恰好等于在处曲线C到曲线的

6、夹角：特别，把单叶解析函数作映射时，曲线间的夹角的大小及方向保持不变，我们称这个性质为单叶解析函数所作映射的保角性。下面说明解析函数模的几何意义。根据假设，我们有由于是比值的极限，它可以近似地表示这种比值。在w=f(z)所作映射下，及分别表示z平面上向量及w平面上向量的长度，这里向量及的起点分别取在及。当较小时，近似地表示通过映射后，对的伸缩倍数，而且这一倍数与向量的方向无关。把称为f(z)在点的伸缩率。现在用几何直观来说明单叶解析函数所作映射的意义。设w=f(z)是在区域D内解析的函数，，那么w=f(z)把的一个邻域内任一小三角形映射成w平面上含的一个区域内

7、的曲边三角形。这两个三角形的对应角相等，对应边近似成比例。因此这两个三角形近似地是相似形。此外，w=f(z)还把z平面上半径充分小的圆近似地映射成圆定义7.1如函数在点的某邻域内有定义，且在点处具有：（1）伸缩率不变性，（2）过的任意两曲线的夹角在变换下，既保持大小，又保持方向，则称函数在点是保角的，或称是在点的保角变换。如果在区域内处处保角的，则称在区域是保角的，或称是在区域内的保角变换。由上面的讨论，我们有定理7.4如函数是区域D内的解析函数.则它在导数不为零的点处是保角的。定义7.2如函数在区域D内是单叶且保角的，则称变换在区域D内是共形的，也称它为区域

8、D内的共形映射。对于单叶解析函数，我们