(修改)第十一讲：阿波罗尼奥斯与圆锥曲线.ppt

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1、第十一讲阿波罗尼奥斯与圆锥曲线论斐波那契数是大自然的模式之一。圆锥曲线是宇宙的基本形式人类用数学刻画大自然和宇宙！3知识的逻辑顺序与历史顺序有时是不同的.学与教都应该重视这一点：在注意知识的逻辑顺序时，同时注意知识的历史顺序阿波罗尼奥斯与圆锥曲线论切竹笋——圆锥曲线的模型圆椭圆抛物线双曲线伸开你的双手，你有什么发现？会与你曾经学过的“圆锥曲线”有关吗？手掌指关节分布特点的数学研究你对“圆锥曲线”还有多少回忆？“圆锥曲线”的例子你还能举出一些吗？圆锥曲线包括椭圆、抛物线、双曲线和圆，通过直角坐标系，它们又与二次方程

2、对应，所以，圆锥曲线又叫做二次曲线。圆锥曲线一直是几何学研究的重要课题之一，在我们的实际生活中也存在着许许多多的圆锥曲线。一、圆锥曲线的由来与阿波罗尼奥斯对于圆锥曲线的最早发现，众说纷法。有人说，古希腊柏拉图学派的梅内赫莫斯为了解决当时的一个著名难题——立方倍积问题，即用圆规直尺作图的方法，把任意正立方体的体积扩大一倍。在求解“立方倍积”问题时，发现了圆锥曲线：设x、y为a和2a的比例中项，即。a：x＝x：y＝y：2a，则这就是立方倍积。他用直角三角形旋转得到直角圆锥曲面，再用想用“直角圆锥曲线”在理论上解决“立

3、方倍积问题”，但未获成功。此后，他便撇开“立方倍积问题”，专门研究圆锥曲线。【思考】值得我们学习，必要时在现有研究的基础上调整研究方向。设直角圆锥的轴三角形VBC是等腰直角三角形，顶角V是直角，过母线VB上一点A用垂直于VB平面圆锥面，其交线QAR为直角圆锥截线。过交线QAR上任一点P作平面垂直于轴VO，它与轴截面VBC交于DE，与圆锥交于以DE为直径的圆DPE，由于平面DEP和AQR均垂直于平面BVC故交线PN┴DE于是NP2=DN·NE。作AF//DE,FG┴DE,如图。因为ΔAFG∽ΔNAD。于是FA·ND

4、=AG·AN,又NE=AF,于是NP2=DN·NE=DN·FA=AG·AN.记AN=x,NP=y，AG是与点A位置有关的定线段记为b。于是上式可写为y2=bx用解析几何的说法便是：曲线上任意一点的纵坐标的平方等于相应的横坐标乘上一个正数(正焦距)，这正是抛物线的性质。若设VA=a，那么AG=AF=×VA=2a。这样就得到y2=2ax,这也正是解析几何学中抛物线的解析式钝角圆锥面；钝角圆锥曲线（双曲线的一支）。锐角圆锥面；锐角圆锥曲线（椭圆）直角圆锥面；直角圆锥曲线（抛物线）思考：椭圆、抛物线、双曲线在古代分别称为

5、？他分别得到锐角、钝角圆锥曲面，同样用垂直于母线的平面去截圆锥曲面，得到的截线分别称为锐角圆锥曲线（椭圆），钝角圆锥曲线（双曲线的一支）。【注意】梅内赫莫斯得到的三种圆锥曲线分别以三种不同的圆锥曲面为基础得到。这就给后人留下了继续研究的余地。收获1：我们看到了由体到面到线的例子，小学数学先安排认识“体”，再认识“面”。为何？收获2：“体面”新说？这引起了许多希腊数学家的兴趣，他们开始对圆锥曲线作深入的研究，其中包括阿里斯泰奥斯、欧几里得、阿基米德等人。他们的研究为系统的圆锥曲线理论的最终形成积累了大量的资料，将圆

6、锥曲线理论进行整理、深化的任务历史性的落在了阿波罗尼奥斯身上（联想：站在巨人的肩膀上！）阿波罗尼奥斯(Apollonius，约公元前262年-公元前190年)，希腊数学家、天文学家。　　阿波罗尼奥斯年轻时曾在亚历山大求学，后来长期在那里生活。他将前人研究圆锥曲线取得的成果加以总结，在自己进一步思考的基础上，写成《圆锥曲线论》这一经典名著，被称为古希腊研究几何学的登峰造极之作。阿拉伯和西欧的许多数学家都曾经长期将它奉为必读经典。还有现实意义！阿波罗尼奥斯不拘泥于古已有之的内容和方法，富于想像，大胆创新，正如他自己

7、所说的：“模仿只会仿制他所见到的事物，而想像则能创造他所没有见过的事物。"阿波罗尼奥斯以前的数学家研究圆锥曲线都是从三个顶角不同的圆锥出发来考虑的。梅内赫莫斯在尝试解决倍立方体问题时，发现了圆锥曲线。他将圆锥分为三类：若两条母线的最大交角是锐角，圆锥称为锐角圆锥；若两条母线的最大交角为直角，圆锥称为直角圆锥；若为钝角，圆锥称为钝角圆锥。用一个垂直于一条母线的平面截圆锥，所得截线，分别称为"锐角圆锥曲线"、"直角圆锥曲线"和"钝角圆锥曲线"。启示：创新意识和能力阿波罗尼奥斯改进了梅内赫莫斯的方法，他从一个圆锥出发，

8、用一个平面与圆锥的母线成不同角度截圆锥，就可以得到三种圆锥曲线：截面与所有母线都相交，截线为椭圆；截面与一条母线平行，截线为抛物线；截面与轴线平行就可以使得截线为双曲线的一支。他分别将这三种圆锥曲线命名为：“齐曲线”(抛物线)、“亏曲线”(椭圆)、“超曲线”(双曲线)。阿波罗尼奥斯首先注意到了双曲线有两支，并且是有心曲线。另外，他还研究了二次曲线的切线问题和点的轨迹问题。