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1、。7.3正交变换和正交矩阵授课题目：7.3正交变换和正交矩阵教学目标：理解和掌握正交变换与正交矩阵的概念，性质及其关系授课时数：3学时教学重点：正交变换的性质教学难点：正交变换的判定，正交矩阵特征值的性质教学过程：一、标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。设{1,2,,n}是n维欧氏空间的两个标准正交基，(1,2,,n)(1,2,,n)U（U=（Uij））U1i(1,LU2inUkiki,n)Mk1UniQ1,Ln是标准正交基，有i,1ijjij0nn又Qi,jUkik,Ukjkk1k1nn则UkiUljk,lk1i1nk1UkiUkjn1ijQUkiUkj1
2、,2,L,n)0i(i,jk1j从而UTUI定义7.3.1设U是实数域上的n阶矩阵,如果UTUUUTI,-可编辑修改-。则称U为正交矩阵.定理7.3.1设在n维欧氏空间中由标准正交基1,2,,n对基{1,2,L,n}的过渡矩阵是U,那么{1,2,L,n}是标准正交基的充分必要条件是U为正交矩阵.证明:必要性已证.现证充分性.设U为正交矩阵,则UTUUUTI成立,从而{1,2,L,n}是标准正交基.例1：证明每一个n阶可逆矩阵A都可以唯一表成A=UT的形式，这里U是一个正交矩阵，T是一个上三角实矩阵且主对角线上元素。证明：存在性，由于A为n阶非奇异实矩阵，故
3、A=(1,2,,n)的列向量1,2,,n线性无关，从而为Rn的一个基，实行单位化1t1112t121t222令nt1n1t2n2tnnn其中tii0,i1,1,,n,都有（1，2，，n）(1,2,,n)1其中1,2,,n为Rn的标准正交基，而t11t12t1nT10t22t2n00tnn从而T也是对角线上全为实数的上三角形矩阵，由于1,,n是标准正交基，故有U(1,2,,n)是一个正交矩阵，于是知A=UT唯一性：设另有AU1T1其中U1为正交矩阵，T1为对角线上全是正实数的上三角形矩阵，则UTU1T1或U1O1TT1即上式既是上三角形矩阵又为正交矩阵，可证
4、TT1I-可编辑修改-。故TT1,UU1思考题设1,2,3是欧氏空间V的一个标准正交基,试求正交变换σ,使σ适合(1)1212213333(2)2211223333练习设V是一个欧氏空间,V是一个非零向量,对于V,规定V的一个变换()2,,证明:τ是V的一个正交变换,且2,ι是单位变换.例2：设{1,2,,n}和{1,2,,n}是n维欧氏空间V的两个标准正交基。（1）证明，存在V的一个正交变换，使(i)i,i1,2,,n（2）如果V的一个正交变换，使(i)i那么(2),,(n)所生成的子空间与2,,n由所生成的子空间重合。证：（1）一定存在一个变换使(i)
5、i,又{1,,n}及{1,,n}为标准正交基，故为正交变换(2)证L((2),,(n))L(2,,n)分两步证明L((2),,(n))则nn先证设i2ai(i)(aii)i2又由知可由，2，，n}线性表出，令V{1-可编辑修改-。ni1bi,且bi,i,i1,2,,n又是正交变换，而（1）1nn故b1,1(aii),(1)aii,i0i2i2n所以biL(2,3,,n)i2n另一放面，若L(2,3,,n)则cii，因为是正交变换，i2故(),(2),,(n)是V的一个标准正交基，不妨令d1(1)d2(2),,dn(n),di,(i)由于（1）1故Nd1,(
6、1)cii0I2故d2(2)dn(n)L((2),,(n))因而L(2,3,,n)L((2),(3),,(n))L((2),(n))L(2,,n)有U(1,2,,n)是一个正交矩阵，于是知A=UT唯一性：设另有AU1T1其中U1为正交矩阵，T1为对角线上全是正实数的上三角形矩阵，则UTU1T1或U1O1TT1即上式既是上三角形矩阵又为正交矩阵，可证TT1I故TT1,UU1例2：设{1,2,,n}和{1,2,,n}是n维欧氏空间V的两个标准正交基。（3）证明，存在V的一个正交变换，使(i)i,i1,2,,n-可编辑修改-。（4）如果V的一个正交变换，使(i)
7、i那么(2),,(n)所生成的子空间与2,,n由所生成的子空间重合。证：（1）一定存在一个变换使(i)i,又{1,,n}及{1,,n}为标准正交基，故为正交变换（5）证L((2),,(n))L(2,,n)分两步证明先证L((2),(n))L(2,,n)L((2),,(n))则nn设ai(i)(aii)i2i2又由知可由，，，n}线性表出，令V{12ni1bi,且bi,i,i1,2,,n又是正交变换，而（1）1nn故b1,1(aii),(1)aii,i0i2i2n所以biL(2,3,,n)i2n另一放面，若L(2,3,,n)则cii，因为是正交变换，i2故(
8、),(2),,(n)是V的一个标准正交基，不妨令d1(1)d2(2
