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《§4--4.1--任意角的正弦函数、余弦函数的定义--4.2--单位圆与周期性.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.1任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2单位圆与周期性1.掌握正弦函数、余弦函数的定义.（重点）利用单位圆理解正弦函数与余弦函数都是周期函数,并知道它们的周期.(难点)3.知道周期函数的定义.（重点）思考：锐角三角函数是怎么定义的？对边邻边斜边即给定一个0°～90°的角（不包括0°和90°）就可以得到一个正弦函数值、余弦函数值与之对应.如图所示：1230°由上一节引入的弧度的概念，我们可以将sin30°写成，以后若不做特殊说明，角的单位均为弧度.P(u,v)xyOrα
2、设锐角的顶点与原点重合,始边与轴的非负半轴重合.在的终边上任取一点,它与原点的距离探究一：锐角三角函数坐标化M在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆．(1,0)OP(u,v)αyMx当点P(u,v)就是的终边与单位圆的交点时,锐角三角函数会有什么结果？由三角形相似知识可知,比值与点P(u,v)在终边上的位置无关,只与角有关.任意角的三角函数定义xyOP(u,v)α1如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(u,v)，那么：1.v叫作α的正弦函数，记作sinα，即sinα=v；2.
3、u叫作α的余弦函数，记作cosα，即cosα=u.正、余弦函数都是三角函数.正弦、余弦函数是以实数为自变量的函数角（其弧度数等于这个实数）三角函数值（实数）实数三角函数定义域值域y=sinxR[-1,1]y=cosxR[-1,1]通常，我们用x表示自变量，即x表示角的大小，用y表示函数值，这样我们就定义了任意角三角函数y=sinx和y=cosx,它们的定义域为全体实数，值域为[-1,1].这与初中所学的锐角三角函数的定义是一致的.小结：根据三角函数的定义，研究三角函数的值在各个象限的符号.OxyOxy+_++
4、+___探究二：三角函数值的符号解：（1）如图，以原点为角的顶点，以x轴非负半轴为始边，顺时针旋转，与单位圆交于点P，即为所求作的角.例1在直角坐标系的单位圆中，(1)画出角α；(2)求出角α的终边与单位圆的交点坐标；(3)求出角α的正弦函数值、余弦函数值.OyMx1P例2已知角终边上一点P求角的正弦函数值、余弦函数值.解:因为点P在角的终边上，所以可知则sin=cos=010-1010-101在直角坐标系的单位圆中，画出下列各特殊角，求各个角终边与单位圆的交点坐标，并将各特殊角的正弦函数值、余弦函数值填入下
5、表观察此表格中的数据,你能发现函数y=sinx和y=cosx的变化有什么特点吗？观察右图，在单位圆中，由任意角的正弦函数、余弦函数定义不难得到下列事实：终边相同的角的正弦函数值相等，即；终边相同的角的余弦值相等，即.探究三：周期函数上述两个等式说明：对于任意一个角x，每增加的整数倍，其正弦函数值、余弦函数值均不变.所以，正弦函数值、余弦函数值均是随角的变化呈周期性变化的.我们把这种随自变量的变化呈周期性变化的函数叫作周期函数.正弦函数、余弦函数是周期函数，称为正弦函数、余弦函数的周期.例如，等都是它们的周期.
6、其中是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期.一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有f(x+T)=f(x),我们就把f(x)称为周期函数，T称为这个函数的周期.说明：若不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小正周期.注意：1.T是非零常数.2.任意x∈D都有x+T∈D,T≠0，可见函数的定义域无界是成为周期函数的必要条件.3.任取x∈D，就是取遍D中的每一个x，可见周期性是函数在定义域上的整体性质.理解定义时，要抓住每一个x都满足f(x+T)=f(x)成立才
7、行.4.周期也可推进，若T是f(x)的周期，那么2T也是y=f(x)的周期.例3若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示．(1)求该函数的周期；(2)求t＝10s时钟摆的高度．解:(1)由图像可知，该函数的周期T=1.5s(2)设h=f(t),∵T=1.5s,∴=f(1)=20，故t＝10s时钟摆的高度为20mm．f(10)=f(1+6×1.5)1.已知角 的终边经过 ，求 的正弦函数值、余弦函数值．解：xyOP2.确定下列三角函数值的符号:解:（1）因为250°是第三象限角,所以co
8、s250°<0.（2）因为3.函数f(x)=c(c为常数),x∈R，问函数f(x)是不是周期函数，若是，有无最小正周期.答:是，无最小正周期.4.等式sin(30°+120°)=sin30°是否成立？如果成立，能否说明120°是正弦函数y=sinx,x∈R的一个周期？为什么？答:不是，因为不符合定义中的每一个x.理解正弦函数、余弦函数的定义.知道正弦函数、余弦函数都是周期函数，并知道它的最小正周期为
