高价导数的求导归纳与总结.docx

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1、-------------精选文档-----------------高阶导数的求导法则对高阶导数的求导问题是数学分析中的一个重点及难点，对其求导数具有运算量大、技巧性强的特点，尤其值得归纳与研究，以便找到合适的求解方法，这样才能达到事半功倍，触类旁通的效果。下面就详细阐述几种求解高阶导数的常用方法，希望对大家有所帮助和启发。[7]1先拆项再求导法这种方法适用于这样的一些函数，它们那些经拆项后，变成了易于求解高阶导数的一些基本形式之和，然后利用导数的四则运算中和的法则来分项求导。例如在求有理分式函数的高阶导数时，可先化为部分分式，然后求

2、导。要想熟练的掌握这种方法，就要求我们记得一些基本函数的高阶导数的基本形式，例如下面这些基本形式(xk)(n)k(k1)(kn1)xkn(nk)；(ex)(n)ex；(ax)(n)ax(lna)n；(lnx)(n)(1)(n1)(n1)!xn；(sinx)(n)sinxn；2(cosx)(n)cosxn；21(n)n!anb(1)n。ax(axb)n12例3.1.1求函数f(x)xx12的n阶导数。x5x6解∵f(x)2x2x22x313x1，x1(n)(n)∴f(n)(x)x113x1可编辑-------------精选文档----

3、-------------(1)nn!n1(1)n!n1。x3x1例3.1.2求函数f(x)sin4xcos4x的n阶导数。解∵f(x)sin4xcos4x(sin2xcos2x)(sin2xcos2x)cos2x；∴f(n)(x)2ncos(2xng).22直接利用Leibniz公式求高阶导Leibniz公式：设f(x)与g(x)都是n阶可导函数，则它们的积函数也n阶可导，且成立公式(n)nCnkf(nk)(x)g(k)(x)f(x)gg(x)k0这里Cnkn!是组合系数。k!nk!在利用Leibniz公式求解高阶导数时，要学会灵活

4、地运用，其主要的思想就是将所要求导的函数，化成两个函数乘积的形式，然后利用Leibniz公式。例3.2.1验证函数yarcsinx满足微分方程(1x2)y(n2)(2n1)xy(n1)n2y(n)0.(n3)并依此求y(n)(0)。解y1,即1x2y1，1x2再两端求导，得可编辑-------------精选文档-----------------1x2yxy01x2化简，可得(1x2)yxy0对上式两端求n阶导数,利用Leibniz公式,有(1x2)y(n2)Cn1(2x)y(n1)Cn2(2)y(n)xy(n1)Cn1y(n)(1x

5、2)y(n2)(2n1)xy(n1)n2y(n)0。可见函数yarcsinx满足所指的微分方程。在上式中令x0得递推公式y(n2)n2y(n)，注意到y(0)1和y(0)0，所以，当n2k为偶数时y(n)(0)0；(n)kn2当n2k1时,(xk)k(k1)(kn1)x(nk);(2k1)!；综上，y(n)0n2k(0)2n。(2k1)!2k13用数学归纳法求高阶导数在求高阶导数时，我们常常是由低阶到高阶逐步求导，先求出函数的前几阶导数，再观察思考，总结归纳，如果发现其中有递推的规律，就可以先列出递推公式，然后用数学归纳法加以证明。(

6、xn1ex)(n)n。(1)ex11例子3.3.1试证明：试证明等式xn1可编辑-------------精选文档-----------------证明当n1111x1x1(1)1x1时，(xe)2e11e，等式成立；xx1111当n2时，(x21ex)(x11ex)1ex1ex，等式成立；x3x21假设nk1,k时等式成立，即(xk2ex)(k1)k1；(1)ex11xkk1x(k)(kx1)11n0(xe)k1e；xx现来验证nk1时，等式也成立。11(xkex)(k1){(xkex)}(k)11{kxk1exxk2ex}(k)1

7、1k(xk1ex)(k){(xk2ex)(k1)}(kxk1x1)(1)11kk1e{ke}xxk1x(1)1k2e。x可见，nk1时，等式也成立。，等式(xn1ex)(n)(1)nex11综上，由数学归纳法可知xn1成立。4用递推公式求高阶导方法要点，当高阶导数无法直接求出时，可考虑先求出导数的递推公式，方法是先求前几阶的导数关系，然后设法将等式作适当处理，使两端同时求导时能得到一般的递推关系。例3.4.1设f(x)(arcsinx)2，求f(n)(0)。解2arcsinxf(x)x21可编辑-------------精选文档---

8、--------------化简，可得(1x2)f2(x)4f(x)，（1）两边再求导并化简，得xf(x)(1x2)f(x)2，（2）应用Leibni公式对（2）式两边求n阶导数，得xf(n1)(x)nf(n)(x)(1