2016新课标三维人教B版数学必修5 2.3 等比数列.doc

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1、优选等比数列2．3.1　等比数列第一课时　等比数列的概念及通项公式预习课本P44～47，思考并完成以下问题(1)等比数列的定义是什么？如何判断一个数列是否为等比数列？(2)等比数列的通项公式是什么？(3)等比中项的定义是什么？1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．[点睛](1)“从第2项起”，也就是说等比数列中至少含有三项；(2)“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”；(3)“同一常数q”，q是等比数列的公比，即q＝(

2、n≥2)或q＝.特别注意，q不可以为零，当q＝1时，等比数列为常数列，非零的常数列是特殊的等比数列．2．等比数列的通项公式等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则通项公式为：an＝a1qn－1.3．等比中项66/66优选如果三个数x，G，y组成等比数列，则G叫做x，y的等比中项．如果G是x和y的等比中项，那么＝，即G2＝xy.[点睛](1)G是x与y的等比中项，则x与y的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项．G＝±，即等比中项有两个，且互为相反数．(2)当G2＝xy时，G不一定是x与y的等比中项．例如02＝5×0，但0,0,5不是等比数

3、列．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列(　　)(2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零(　　)(3)常数列一定为等比数列(　　)(4)任何两个数都有等比中项(　　)解析：(1)错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列．(2)错误，当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零．(3)错误，当常数列不为零时，该数列才是等比数列．(4)错误．当两数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4

4、)×2．下列数列为等比数列的是(　　)66/66优选A．2,22,3×22，…B.，，，…C．s－1，(s－1)2，(s－1)3，…D．0,0,0，…解析：选B　A、C、D不是等比数列，A中不满足定义，C、D中项可为0，不符合定义．3．等比数列的首项为，末项为，公比为，则这个数列的项数为(　　)A．3B．4C．5D．6解析：选B　∵＝·n－1，∴＝n－1，即3＝n－1，∴n－1＝3，∴n＝4.4．在等比数列{an}中，a4＝27，q＝－3，则a7＝________.解析：a7＝a4·q3＝27×(－3)3＝－729.答案：－729等比数列的通项公式[典例

5、]　(1)在等比数列{an}中，a1＝，q＝，an＝，则项数n为(　　)A．3　　　　　　　　　　B．466/66优选C．5D．6(2)已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.[解析](1)因为an＝a1qn－1，所以×n－1＝，即n＝5，解得n＝5.(2)由2(an＋an＋2)＝5an＋1⇒2q2－5q＋2＝0⇒q＝2或，由a＝a10＝a1q9>0⇒a1>0，又数列{an}递增，所以q＝2.a＝a10⇒(a1q4)2＝a1q9⇒a1＝q＝2，所以数列{an}的通项公

6、式为an＝2n.[答案](1)C　(2)2n等比数列通项公式的求法(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．[活学活用]在等比数列{an}中，(1)a4＝2，a7＝8，求an；(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.66/66优选解：(1)因为所以由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝2.(2)法一：因为由得q＝，从而a1＝32.又an＝1，所以32×n－

7、1＝1，即26－n＝20，所以n＝6.法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝.由a1q＋a1q4＝18，得a1＝32.由an＝a1qn－1＝1，得n＝6.等比中项[典例]　(1)在等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是(　　)A．±4　　　　　　　　　B．4C．±D.(2)已知b是a，c的等比中项，求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项．66/66优选[解析](1)由an＝×2n－1＝2n－4知，a4＝1，a8＝24，所以a4与a8的等比中项为±4.答案：A(2)证明：因为b是a，c的等比中项，所以b2＝ac，

8、且a，b，c均不为零，又(a2＋b2)(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋